Що більше число з мінусом чи натуральні. Негативні числа. Що робити з логарифмами

Існує безліч різновидів чисел, одні з них це цілі числа. Цілі числа з'явилися у тому, щоб полегшити рахунок у позитивний бік, а й у негативну.

Розглянемо приклад:
Вдень на вулиці була температура 3 градуси. Надвечір температура знизилася на 3 градуси.
3-3=0
На вулиці стало 0 градусів. А вночі температура знизилася на 4 градуси і почала показувати на термометрі -4 градуси.
0-4=-4

Ряд цілих чисел.

Натуральними числами ми таку задачу описати ми не зможемо, розглянемо це завдання на координатній прямій.

У нас вийшов ряд чисел:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Цей ряд чисел називається поруч цілих чисел.

Цілі позитивні числа. Цілі негативні числа.

Ряд цілих чисел складається з позитивних та негативних чисел. Праворуч від нуля йдуть натуральні числа або їх ще називають цілими позитивними числами. А ліворуч від нуля йдуть цілі негативні числа.

Нуль не є ні позитивним, ні негативним числом. Він є межею між позитивними та негативними числами.

– це безліч чисел, що з натуральних чисел, цілих негативних чисел і нуля.

Ряд цілих чисел у позитивний і негативний бік є нескінченним безліччю.

Якщо ми візьмемо два будь-які цілі числа, то числа, що стоять між цими цілими числами, будуть називатися кінцевою множиною.

Наприклад:
Візьмемо цілі числа від -2 до 4. Усі числа, що стоять між цими числами, входять до кінцевої множини. Наше кінцеве безліч чисел виглядає так:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Натуральні числа позначаються латинською літерою N.
Цілі числа позначаються латинською літерою Z. Усі безліч натуральних чисел і цілих чисел можна зобразити малюнку.


Непозитивні цілі числаінакше кажучи – це негативні цілі числа.
Невід'ємні цілі числа- Це позитивні цілі числа.

Негативні та уявні числа

Тепер ми ризикнемо звернутися до алгебри. Використання в алгебрі негативних та уявних чисел підтверджує чотиричасткову природу аналізу та надає додатковий шанс використати тричастковий аналіз. У цьому випадку ми знову повинні попередити, що маємо намір використовувати алгебри концепції для цілей, що далеко виходять за межі звичайного застосування цих концепцій, тому що деякі відкриття алгебри привносять вагомий внесок у наше дослідження.

Еволюція математики пішла семимильними кроками після відкриття можливості використання негативних чисел ( негативних кількостей). Якщо ми представимо позитивні числа як ряд, що йде праворуч від нуля, то ліворуч від нуля будуть негативні.
і т. д. ... -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3 і т. д.

З допомогою цього графіка ми можемо уявити додавання, як рух праворуч, а віднімання - як рух вліво. Стає можливим віднімання більшого числа з меншого; Наприклад, якщо ми віднімемо 3 з 1, то отримаємо -2, яке є реальним (хоч і негативним) числом.

Наступна важлива концепція – уявні числа. Вони були не відкриті, а швидше випадково виявлені. Математики дійшли висновку, що числа мають коріння, тобто такі числа, які, будучи помножені на самих себе, дають число, що шукається. Виявлення негативних чисел і зіставлення їх із корінням викликало в наукових колах паніку. Якими мають бути числа, множення яких одна на одну дало б число -1? Якийсь час відповіді не було. Квадратний корінь негативного числа неможливо було обчислити. Тому його й назвали уявним. Але коли Гаусс, прозваний «принцом математиків», відкрив метод представлення уявних чисел, невдовзі знайшлася можливість їх застосування. Сьогодні вони користуються нарівні з реальними числами. Метод представлення уявних чисел використовує діаграму Арганда, яка є цілісність як окружність, а коріння цієї цілісності - як ділянки кола.

Згадаймо, що ряд негативних та позитивних чисел розходиться у протилежні сторони з однієї точки – нуля. Таким чином, квадратне коріння цілих чисел, +1 або -1, також можуть бути виражені як протилежні кінці лінії, де в центрі - нуль. Цю лінію можна також представити як кут 180 0 або діаметр.

Гаус розвинув початкове припущення і описав квадратний корінь з -1 як половину відстані між +1 і -1, або як кут 90 0 між лінією від -1 до +1. Отже, якщо поділ цілого на плюс і мінус є діаметр, або 180 0 то другий поділ веде до появи ще однієї осі, яка ділить цей діаметр навпіл, тобто на кут 90 0 .

Таким чином, ми отримуємо дві осі - горизонтальну, що представляє нескінченності позитивних і негативних чисел, і вертикальну, що представляє нескінченності уявних позитивних і негативних чисел. Виходить звичайна вісь координат, де число, що описується цією схемою та осями, є число, що має реальну та уявну частини.

Використовуючи діаграму Арганда (це коло з радіусом цілого (радіус +1) на складній системікоординат), наступні коріння цілого (кубічні коріння, коріння в четвертому, п'ятому ступенях і т. д.) ми знаходимо простим розподілом кола на три, п'ять і т. д. рівних частин. Знаходження цілого кореня перетворюється на процес вписування багатокутників в коло: трикутника для кубічного кореня, п'ятикутника для кореня в п'ятому ступені і т. д. Коріння стає крапками на колі; їх значення мають реальну і уявну частини, а вираховуються вони відповідно по горизонтальній або вертикальній осях координат. Це означає, що вони вимірюються у термінах квадратного коріння і коріння в четвертому ступені.

З цього потужного логічного спрощення стає ясно, що аналіз – процес чотиричастковий. Будь-яка ситуація може бути розглянута з точки зору чотирьох факторів чи аспектів. Не лише вкотре підтверджує Аристотилеву ідею чотирьох категорій, а й пояснює, чому квадратні рівняння(іншими словами, «чотирьохсторонні») такі популярні в математиці.

Але висновок про природу аналізу як чотиричастинного по суті передбачає його роботу в обидва напрямки. Аналіз же показує і всеосяжність чотиричастинного, і його обмеженість. А також те, що іноді суть досвіду не піддається жодному аналізу.

Перебуваючи «всередині» геометричного методу, ми показали, що ці неаналітичні фактори включають троїстість, пятинність, семинність. Незважаючи на те, що ми здатні дати їх аналітичний опис, він не здатний розкрити їх істинну природу.

Технологічна карта уроку №35

П.І.Б. вчителі:Іванова Ольга Анатоліївна
Предмет:Математика

Клас: 6 А

Найменування навчально-методичного комплекту (МК): Математика. Підручник для 6 класу/Нікольський С.М., Потапов М.К.

Тема урока:негативні цілі числа

Тип уроку:Урок первинного пред'явлення нових знань

Місце уроку у системі уроків: Урок 1 у темі «Цілі числа»

Цілі уроку:

Навчальна:навчитися знаходити з допомогою показань термометра різницю температур, познайомитися з правилом віднімання чисел з допомогою цілих чисел;

Розвиваюча:розвивати аналітичне мислення, виділяти головне та узагальнювати

Виховна:виховувати почуття взаємної співпраці, уміння слухати

Дидактичне завдання уроку: запровадити поняття негативного, позитивного чисел, низки цілих чисел; засвоїти правила віднімання чисел за допомогою термометра та ряду цілих чисел

Заплановані результати

Предметні результати:знати і розуміти сенс понять : позитивне число, негативне число , ряд цілих чисел, вміти віднімати числа з допомогою низки цілих чисел, застосовувати отримані знання інших уроках.

Метапредметні результати:

Пізнавальні: здатність розуміти навчальне завдання уроку, виділяти і формулювати пізнавальні цілі, будувати логічний ланцюжок міркувань.

Регулятивні: контролювати та оцінювати власну діяльність та діяльність партнерів, планувати та коригувати свою діяльність;

Комунікативні: вміти досить повно та чітко висловлювати свої думки, слухати співрозмовника та вести діалог.

Особистісні:мати мотивацію до навчальної діяльності, приймати та освоювати соціальну роль учня, використовувати набуті знання навчального співробітництва з дорослими та однолітками у різних ситуаціях.

Основні поняття:негативні числа, позитивні числа, ряд цілих чисел

Міжпредметні зв'язки: фізика

Ресурси:http :// www . uroki . net ; http :// www . zavuch . info

Форми роботи: фронтальна бесіда, робота у парах, індивідуальна робота.

Етапи уроку

Діяльність вчителя

Діяльність учнів

час

Формовані УУД

1.

Організаційний етап

Вітання учнів. Контроль готовності до уроку.

Перевірте, чи все у вас гаразд? Книжки, ручки та зошити? Продзвенів зараз дзвінок: починається урок!

На уроці працюйте старанно, і успіх на вас чекає обов'язково!

Підготовка до початку уроку

Особистісні:позитивно ставляться до вчення, пізнавальної діяльності, бажають набувати нових знань, уміння, удосконалювати існуючі.

Пізнавальні:усвідомлюють навчально-пізнавальне завдання.

Регулятивні:планують у співпраці з учителем, однокласниками самостійно необхідні дії.

Комунікативні: слухають та чують один одного

2.

Актуалізація знань

Хлопці, яка найголовніша навичка в математиці? Перевіримо, як ви вмієте рахувати: проведемо математичну розминку.

На дошці записані приклади, вирішуємо їх усно та говоримо відповідь.

Хлопці, що ви можете сказати про числа, написані в першому і другому стовпцях? Які вони?

Які математичні дії з числами ви робили?

Пропонують варіанти відповідей (рахунок)

Усна робота з прикладами на дошці.

Відповідають на запитання (натуральні, дробові)

(додавання, віднімання, множення, розподіл)

Оцінка своєї діяльності

Особистісні:виявляють стійкий пізнавальний інтересдо усного рахунку.

Пізнавальні:виконують навчально-пізнавальні дії у розумовій формі; здійснюють для вирішення навчальних завданьоперації аналізу, синтезу, порівняння, кваліфікації.

Регулятивні: приймають та зберігають навчальне завдання.

Комунікативні: висловлюють та обґрунтовують свою точку зору

3.

Цілепокладання

Організація роботи з роздатковим матеріалом.

Діти, зверніть увагу на листи із завданням 1

На демонстраційному термометрі відображається розв'язання задачі.

Діти, з яким новим поняттям ми зіткнулися? Як нам записати показання термометра? Що означає запис -3 0 З.

Від якої точки ми відраховуємо температуру? Як називаємо температуру, розташовану вище 0? Нижче 0? Яку роль відіграє 0?

Яка ж тема уроку?

Вчитель коригує відповіді учнів та озвучує тему уроку. Тема уроку: негативні цілі числа.

Спільно з учнями:

    формулює мету навчальної діяльності;

    будує проект (алгоритм) виходу із проблемної ситуації.

Організовує та доповнює спільну навчальну діяльність

Читають завдання та пропонують варіанти рішення.

Відповідають на запитання

Відповіді учнів

Температура увечері -3 0 З

Перед 3 поставити мінус.

3 0 З морозу.

Відраховуємо від 0. Плюсова (позитивна), мінусова (негативна). кордон

Негативні температури (числа)

Учні записують тему у зошит.

Формулюють мету навчальної діяльності у діалозі з учителем.

Особистісні: ведуть діалог на основі рівноправних відносин та взаємної поваги та прийняття

Пізнавальні: витягують необхідну інформацію з пояснення, висловлювань однокласників, систематизують знання

Регулятивні: планують необхідні дії

Комунікативні: будують монологічні висловлювання, здійснюють спільну діяльність

4

Організація роботи з підручником

206 у зошитах

Перевірте відповіді один у одного

Завдання 2

розв'язати приклади за допомогою термометра:

10 0 З -5 0 С=+5 0 З

15 0 З -15 0 З=+0 0 З

0 0 З -10 0 С=-10 0 З

10 0 С - 15 0 С = -5 0 С

15 0 С-20 0 С=-5 0 З

Діти, уявіть, що ми з вами розташували термометр горизонтально і отримали наступний запис

Як назвемо числа, розташовані праворуч від 0? Зліва від 0?

Сформулюйте визначення позитивного та негативного числа

Виконують роботу усно та у зошитах.

Взаємоперевірка

Робота у парах; перевірка рішення біля дошки із поясненням із термометром

Оцінка діяльності

Позитивні, негативні.

Формулюють визначення

Особистісні: конструктивно вирішують проблеми, що виникають.

Пізнавальні: читають та слухають, виймаючи потрібну інформацію

Регулятивні: контролюють навчальні дії, Помічають допущені помилки; усвідомлюють правило контролю та успішно використовують його у вирішенні навчальної задачі.

Комунікативні: здійснюють спільну діяльність у парах

4.

Фізкультхвилинка

А тепер уявіть, що нуль це ваші руки, складені біля грудей, тоді ліва рукапокаже розташування яких чисел? Права?

Покажіть мені, де щодо нуля є число 5? -7? -10? 100? 15? -20?

Проведемо розминку

Відповідають на запитання, показують розташування чисел

Відволікаються від навчальної діяльності, розминаються.

Особистісні: просвідомість цінності здоров'я

Пізнавальні: встановлюють причинно-наслідкові зв'язки між своїм здоров'ям та фізичними вправами

Регулятивні: адекватно самостійно оцінюють правильність виконання дії та вносять необхідні корективи у виконання як наприкінці дії, так і в процесі реалізації.

5.

Первинне сприйняття та засвоєння матеріалу

Хлопці, повернемося до запису

7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5

Що означає цей запис?

З яких чисел складається низка цілих чисел?

Знайти відповідь вам допоможе підручник

Як ряд цілих чисел може нам допомогти при відніманні чисел?

Спробуйте за допомогою низки цілих чисел виконати завдання 3

Самостійне виконання вправи

Виконання завдання 3

Перевіримо, які результати ви отримали.

Робота з підручником, пошук відповіді питання. (ряд цілих чисел)

Ряд цілих чисел складається з натуральних чисел, цілих негативних чисел та нуля.

При відніманні ми пересуватимемося вліво по ряду

Виконання завдань у зошитах

Перевірка з усним коментуванням

Обговорення рішень

Оцінка діяльності

Особистісні: виявляють потребу у самовираженні та самореалізації

Пізнавальні: здійснюють пошук необхідної інформації (з матеріалів підручника та розповіді вчителя, з відтворення у пам'яті).

Регулятивні: самостійно контролюють свій час, відведений для вирішення конкретного завдання, та керують ним.

Комунікативні: відображають у внутрішній мові зміст дій.

6.

Рефлексія

З яким новим поняттям ми познайомилися на сьогоднішньому уроці?

Чого ми навчилися на сьогоднішньому уроці?

Що було найважчим?

Підбиває підсумки уроку. Оцінює роботу класу та окремих учнів.

Дають адекватну оцінку своєї діяльності.

Особистісні: розуміють значення знань для людини

Пізнавальні: набувають уміння використовувати знання та вміння у практичній діяльності та повсякденному житті; встановлюють взаємозв'язок між обсягом набутих на уроці знань, умінь, навичок та операційних, дослідницьких, аналітичних умінь як інтегрованих, складних умінь.

Регулятивні: оцінюють свою роботу; виправляють та пояснюють свої помилки.

Комунікативні: формулюють власні думки, висловлюють та обґрунтовують свою точку зору

7

Домашнє завдання

Визначає домашнє завдання.

425, 426, 434 * в

Учні записують домашнє завдання

Формули в Excel допоможуть порахувати як позитивні, а й негативні числа. Якими способами можна написати число з мінусом, дивіться у статті "Як запровадити негативне число в Excel".
Щоб знайти суму негативних чисел в Excel , потрібна функція "СУМІСЛІ" в Excel . Наприклад, ми маємо таку таблицю.
У комірку А7 встановлюємо формулу. Для цього заходимо на закладку таблиці Excel "Формули", вибираємо "Математичні" та вибираємо функцію Excel "СУМІСЛІ".
Заповнюємо у вікні рядка:
"Діапазон" - вказуємо всі осередки стовпця або рядки, в яких складаємо числа. Про діапазон у таблиці, дивіться у статтіЩо таке діапазон у Excel" .
«Критерій» - тут пишемо «<0» .
Натискаємо кнопку "ОК".

Вийшло так.

Дивіться формулу у рядку формул.Як встановити знак «більше» або «менше» у формулі, дивіться у статті «Де на клавіатурі кнопка» .
Сума лише позитивних чисел у Excel.
Потрібно таким самим чином написати формулу, тільки в рядку вікна функції «Критерій» написати «>0»Вийшло так.

Функція "СУМІСЛІ" в Excel може вважати значення осередків не всіх підряд, а вибірково за умовою, яку ми напишемо у формулі. Ця функція зручна у тому, щоб порахувати дані на певну дату чи замовлення конкретного покупця, підсумки учня, т.д. Докладніше про засоби застосування цієї функції, читайте

При розв'язанні рівнянь і нерівностей, а також задач з модулями потрібно розташувати знайдене коріння на числовій прямій. Як ти знаєш, знайдене коріння може бути різним. Вони можуть бути такими: , а можуть бути такими: , .

Відповідно, якщо числа не раціональні а ірраціональні (якщо забув що це, шукай у темі), або є складними математичними виразами, то розташувати їх на числовій прямій дуже проблематично. Тим більше, що калькуляторами на іспиті користуватися не можна, а наближений підрахунок не дає 100% гарантій, що одне число менше за інше (раптом різниця між порівнюваними числами?).

Звичайно, ти знаєш, що позитивні цифри завжди більше негативних, і якщо ми представимо числову вісь, то при порівнянні, найбільші числа будуть знаходитися правіше, ніж найменші: ; ; і т.д.

Але чи завжди так легко? Де на числовій осі ми зазначимо, .

Як їх порівняти, наприклад, із числом? Ось у цьому й загвоздка...)

Для початку поговоримо в загальних рисахяк і що порівнювати.

Важливо: перетворення бажано робити такими, щоб знак нерівності не змінювався!Тобто під час перетворень небажано примножувати на негативне число, і не можназводити в квадрат, якщо одна з елементів є негативною.

Порівняння дробів

Отже, нам необхідно порівняти два дроби: і.

Є кілька варіантів, як це зробити.

Варіант 1. Привести дроби до спільного знаменника.

Запишемо у вигляді звичайного дробу:

- (Як ти бачиш, я також скоротила на чисельник і знаменник).

Тепер нам необхідно порівняти дроби:

Зараз ми можемо продовжити порівнювати також двома способами. Ми можемо:

  1. просто привести все до спільного знаменника, представивши обидва дроби як неправильні (числитель більший за знаменник):

    Яке число більше? Правильно те, у якого чисельник більше, тобто перше.

  2. «відкинемо» (вважай, що ми з кожного дробу відняли одиницю, і співвідношення дробів один з одним, відповідно, не змінилося) і порівнюватимемо дроби:

    Наводимо їх також до спільного знаменника:

    Ми отримали абсолютно такий самий результат, як і в попередньому випадку - перше число більше, ніж друге:

    Перевіримо також, чи правомірно ми відняли одиницю? Порахуємо різницю в чисельнику при першому розрахунку та другому:
    1)
    2)

Отже, ми розглянули, як порівнювати дроби, наводячи їх до спільного знаменника. Перейдемо до іншого методу – порівняння дробів наводячи їх до загального… чисельника.

Варіант 2. Порівняння дробів за допомогою приведення до загального чисельника.

Так Так. Це не помилка. У школі рідко комусь розповідають цей метод, але дуже часто він дуже зручний. Щоб ти швидко зрозумів його суть, поставлю тобі лише одне питання - «у яких випадках значення дробу найбільше?» Звичайно, ти скажеш "коли чисельник максимально великий, а знаменник максимально маленький".

Наприклад, ти ж точно скажеш, що вірно? Якщо нам треба порівняти такі дроби: ? Думаю, ти теж одночасно правильно поставиш символ, адже в першому випадку ділять на елементів, а в другому на цілих, отже, в другому шматочки виходять дуже дрібні, і відповідно: . Як ти бачиш, знаменники тут різні, а от чисельники однакові. Проте для того, щоб порівняти ці два дроби, тобі не обов'язково шукати спільний знаменник. Хоча… знайди його і подивися, раптом знак порівняння все ж таки неправильний?

А знак той самий.

Повернемося до нашого первісного завдання – порівняти в. Порівнюватимемо в. Наведемо ці дроби не до спільного знаменника, а до загального чисельника. Для цього просто чисельник та знаменникпершого дробу помножимо на. Отримаємо:

в. Який дріб більший? Правильно, перша.

Варіант 3. Порівняння дробів за допомогою віднімання.

Як порівнювати дроби за допомогою віднімання? Так, дуже просто. Ми з одного дробу віднімаємо інший. Якщо результат виходить позитивним, то перший дріб (зменшуване) більший за другий (віднімається), а якщо негативним, то навпаки.

У разі спробуємо з другої відняти першу дріб: .

Як ти вже зрозумів, ми так само переводимо у звичайний дріб і отримуємо той самий результат. Наш вираз набуває вигляду:

Далі нам все одно доведеться вдатися до приведення до спільного знаменника. Питання як: першим способом, перетворюючи дроби на неправильні, або другим, як би «прибираючи» одиницю? До речі, ця дія має цілком математичне обґрунтування. Дивись:

Мені більше подобається другий варіант, тому що перемноження у чисельнику при приведенні до спільного знаменника стає в рази простіше.

Приводимо до спільного знаменника:

Тут головне не заплутатися, скільки і звідки ми забирали. Уважно подивитися хід рішення та випадково не переплутати знаки. Ми віднімали від другого числа перше і отримали негативну відповідь, значить?.. Правильно, перше число більше за друге.

Розібрався? Спробуй порівняти дроби:

Стоп, стоп. Не поспішай приводити до спільного знаменника або віднімати. Подивися: можна легко перевести в десятковий дріб. Скільки це буде? Правильно. Що зрештою більше?

Це ще один варіант – порівняння дробів шляхом приведення до десяткового дробу.

Варіант 4. Порівняння дробів за допомогою розподілу.

Так Так. І так також можна. Логіка проста: коли ми ділимо більше на менше, у відповіді у нас виходить число, більше одиниці, а якщо ми ділимо менше на більше, то відповідь припадає на проміжок від до.

Щоб запам'ятати це правило, візьми для порівняння будь-які два простих числа, наприклад, і. Ти знаєш, що більше? Тепер розділимо на. Наша відповідь - . Відповідно, теорія вірна. Якщо ми розділимо на те, що ми отримаємо - менше одиниці, що в свою чергу підтверджує, що насправді менше.

Спробуємо застосувати це правило на звичайних дробах. Порівняємо:

Розділимо перший дріб на другий:

Скоротимо на та на.

Отриманий результат менше, значить поділяється менше дільника, тобто:

Ми розібрали всі можливі варіанти порівняння дробів. Як ти бачиш їх 5:

  • приведення до спільного знаменника;
  • приведення до загального чисельника;
  • приведення до виду десяткового дробу;
  • віднімання;
  • розподіл.

Готовий тренуватися? Порівняй дроби оптимальним способом:

Порівняємо відповіді:

  1. (- Перекласти в десятковий дріб)
  2. (поділити один дріб на інший і скоротити на чисельник та знаменник)
  3. (Виділити цілу частину і порівнювати дроби за принципом однакового чисельника)
  4. (Поділити один дріб на інший і скоротити на чисельник і знаменник).

2. Порівняння ступенів

Тепер уявімо, що нам необхідно порівняти не просто числа, а вирази, де є ступінь ().

Звичайно, ти легко поставиш знак:

Адже якщо ми замінимо ступінь множенням, ми отримаємо:

З цього маленького та примітивного прикладу випливає правило:

Спробуй тепер порівняти таке: . Ти так само легко поставиш знак:

Тому що, якщо ми замінимо зведення ступінь на множення.

Загалом, ти все зрозумів і це зовсім нескладно.

Складнощі виникають лише тоді, коли при порівнянні у ступенів різні і основи, і показники. В цьому випадку необхідно спробувати привести до загальної основи. Наприклад:

Зрозуміло, ти знаєш, що це, відповідно, вираз набуває вигляду:

Розкриємо дужки і порівняємо те, що вийде:

Декілька особливий випадок, коли основа ступеня () менше одиниці.

Якщо, то з двох ступенів і більший за той, показник якого менший.

Спробуємо довести це правило. Нехай.

Введемо деяке натуральне числояк різницю між і.

Логічно, чи не так?

А тепер ще раз звернемо увагу на умову -.

Відповідно: . Отже, .

Наприклад:

Як ти зрозумів, ми розглянули випадок, коли основи ступенів рівні. Тепер подивимося, коли основа перебуває у проміжку від до, але рівні показники ступеня. Тут усе дуже просто.

Запам'ятаємо, як це порівнювати на прикладі:

Звичайно, ти швидко порахував:

Тому, коли тобі будуть траплятися схожі завдання для порівняння, тримай у голові якийсь простий аналогічний приклад, який ти можеш швидко прорахувати, і на основі цього прикладу проставляй знаки у складнішому.

Виконуючи перетворення, пам'ятай, що якщо ти примножуєш, складаєш, віднімаєш або ділиш, то всі дії необхідно робити і з лівої і з правою частиною (якщо ти множиш на, то множити необхідно і те, й інше).

Крім цього, бувають випадки, коли робити якісь маніпуляції просто невигідно. Наприклад, тобі треба порівняти. В даному випадку, не так складно звести в ступінь, і розставити знак, виходячи з цього:

Давай потренуємось. Порівняй ступеня:

Готовий порівнювати відповіді? Ось що в мене вийшло:

  1. - те саме, що
  2. - те саме, що
  3. - те саме, що
  4. - те саме, що

3. Порівняння чисел із коренем

Для початку згадаємо, що таке коріння? Ось цей запис пам'ятаєш?

Коренем ступеня із дійсного числа називається таке число, для якого виконується рівність.

Коріннянепарного ступеня існують для негативних та позитивних чисел, а коріння парного ступеня- Тільки для позитивних.

Значенням кореня часто є нескінченний десятковий дріб, що ускладнює його точне обчислення, тому важливо вміти порівнювати коріння.

Якщо ти призабув, що це таке і з чим його їдять? Якщо все пам'ятаєш – давай вчитися поетапно порівнювати коріння.

Допустимо, нам необхідно порівняти:

Щоб порівняти ці два корені, не потрібно робити жодних обчислень, просто проаналізуй саме поняття «корінь». Зрозумів, про що я говорю? Та ось про це: інакше можна записати як третій ступінь якогось числа, що дорівнює підкореному виразу.

А що більше? або? Це ти, звичайно, порівняєш без жодних труднощів. Чим більше ми зводимо в ступінь, тим більше буде значення.

Отже. Виведемо правило.

Якщо показники ступеня коренів однакові (у разі це), необхідно порівнювати підкорені висловлювання (і) - що більше підкорене число, то більше значення кореня при рівних показниках.

Важко запам'ятати? Тоді просто тримай у голові приклад і. Що більше?

Показники ступеня коріння однакові, оскільки корінь квадратний. Підкорене вираз одного числа () більше за інше (), значить, правило дійсно вірне.

А що, якщо підкорені вирази однакові, а ось ступеня коріння різні? Наприклад: .

Теж цілком зрозуміло, що з видобутку кореня більшою мірою вийде менше. Візьмемо для прикладу:

Позначимо значення першого кореня як, а другого як, то:

Ти легко бачиш, що в цих рівняннях має бути більше, отже:

Якщо підкорені вирази однакові(у нашому випадку), а показники ступеня коріння різні(У нашому випадку це і), то необхідно порівнювати показники ступеня(і) - чим більше показник, тим менший цей вираз.

Спробуй порівняти наступне коріння:

Порівняємо отримані результати?

Із цим благополучно розібралися:). Виникає інше питання: а що, якщо у нас все різне? І ступінь, і підкорене вираз? Не все так складно нам потрібно всього-на-всього… «позбутися» кореня. Так Так. Саме позбутися)

Якщо у нас різні і ступеня і підкорені вирази, необхідно знайти найменше загальне кратне (читай розділ про ) для показників коренів і звести обидва вирази на ступінь, що дорівнює найменшому загальному кратному.

Що ми всі на словах та на словах. Наведемо приклад:

  1. Дивимося показники коріння - в. Найменше загальне кратне у них - .
  2. Зведемо обидва вирази в ступінь:
  3. Перетворимо вираз і розкриємо дужки (докладніше у розділі):
  4. Порахуємо, що в нас вийшло, і поставимо знак:

4. Порівняння логарифмів

Ось так, повільно, але вірно, ми підійшли до питання як порівнювати логарифми. Якщо ти не пам'ятаєш, що це за звір такий, раджу для початку прочитати теорію з розділу. Прочитав? Тоді дай відповідь на кілька важливих питань:

  1. Що називається аргументом логарифму, а що його основою?
  2. Від чого залежить, чи функція зростає, чи зменшується?

Якщо все пам'ятаєш і чудово засвоїв – приступаємо!

Для того, щоб порівнювати логарифми між собою, необхідно знати лише 3 прийоми:

  • приведення до однакової основи;
  • приведення до однакового аргументу;
  • порівняння із третім числом.

Спочатку зверніть увагу на підставу логарифму. Ти пам'ятаєш, якщо воно менше, то функція зменшується, а якщо більше, то зростає. Саме на цьому будуть засновані наші судження.

Розглянемо порівняння логарифмів, які вже приведені до однакової основи або аргументу.

Для початку спростимо завдання: нехай у порівнюваних логарифмах рівні основи. Тоді:

  1. Функція, коли зростає на проміжку від, означає за визначенням, то («пряме порівняння»).
  2. Приклад:- підстави однакові, відповідно порівнюємо аргументи: , отже:
  3. Функція, при, зменшується на проміжку від, значить за визначенням, то («зворотне порівняння»). - підстави однакові, відповідно порівнюємо аргументи: , проте, знак у логарифмів буде «зворотний», оскільки функція зменшується: .

Тепер розглянемо випадки, коли основи різні, але однакові аргументи.

  1. Підстава більша.
    • . І тут використовуємо «зворотне порівняння». Наприклад: - аргументи однакові, і. Порівнюємо підстави: однак, знак у логарифмів буде «зворотний»:
  2. Основа знаходиться в проміжку.
    • . І тут використовуємо «пряме порівняння». Наприклад:
    • . І тут використовуємо «зворотне порівняння». Наприклад:

Запишемо все у загальному табличному вигляді:

, при цьому , при цьому

Відповідно, як ти вже зрозумів, при порівнянні логарифмів нам необхідно привести до однакової основи, або аргументу, До однакової основи ми приходимо, використовуючи формулу переходу від однієї основи до іншої.

Можна також порівнювати логарифми з третім числом і виходячи з цього робити висновок у тому, що менше, що більше. Наприклад, подумай, як порівняти ці два логарифми?

Невелика підказка - для порівняння тобі дуже допоможе логарифм, аргумент якого дорівнюватиме.

Подумав? Давай вирішувати разом.

Ми легко порівняємо з тобою ці два логарифми:

Не знаєш як? Дивися вище. Ми щойно це розбирали. Який знак там буде? Правильно:

Згоден?

Порівняємо між собою:

У тебе має вийти таке:

А тепер поєднай усі наші висновки в один. Вийшло?

5. Порівняння тригонометричних виразів.

Що таке синус, косінус, тангенс? Для чого потрібне одиничне коло і як на ньому знайти значення тригонометричних функцій? Якщо ти не знаєш відповіді на ці запитання, дуже рекомендую тобі прочитати теорію на цю тему. А якщо знаєш, то порівняти тригонометричні висловлювання між собою для тебе не важко!

Трохи освіжимо пам'ять. Намалюємо одиничне тригонометричне коло і вписаний у нього трикутник. Впорався? Тепер відзнач, з якого боку у нас відкладається косинус, а з якого синус, використовуючи сторони трикутника. (Ти, звичайно пам'ятаєш, що синус, це відношення протилежної сторони до гіпотенузи, а косинус прилеглої?). Намалював? Чудово! Останній штрих - простав, де в нас буде, де і таке інше. Проставив? Фух) Порівнюємо, що вийшло у мене та в тебе.

Фух! А тепер приступаємо до порівняння!

Допустимо, нам необхідно порівняти і. Намалюй ці кути, використовуючи підказки у рамочках (де у нас зазначено, де), відкладаючи крапки на одиничному колі. Впорався? Ось що в мене вийшло.

Тепер опустимо перпендикуляр із точок, відмічених нами на колі на вісь... Яку? Яка вісь показує значення синусів? Правильно, . Ось що в тебе має вийти:

Дивлячись на цей малюнок, що більше: чи? Звичайно, адже точка знаходиться вище за точку.

Аналогічним чином ми порівнюємо значення косінусів. Тільки перпендикуляр ми опускаємо на вісь. Відповідно, дивимося, яка точка знаходиться правіше (ну або вище, як у випадку із синусами), то значення і більше.

Напевно, ти вже здогадуєшся, як порівнювати тангенси, правда? Все, що потрібно, знати, що таке тангенс. Так що таке тангенс?) Правильно, ставлення синуса до косінус.

Щоб порівняти тангенси, ми так само малюємо кут, як і в попередньому випадку. Допустимо, нам необхідно порівняти:

Намалював? Тепер також відзначаємо значення синуса на координатній осі. Помітив? А тепер вкажи значення косинуса на координатній прямій. Вийшло? Давай порівняємо:

А тепер проаналізуй написане. – Ми великий відрізок ділимо на маленький. У відповідь буде значення, яке точно більше одиниці. Правильно?

А у ми маленький ділимо на великий. У відповіді буде число, яке точно менше одиниці.

То значення якого тригонометричного виразу більше?

Правильно:

Як ти тепер розумієш, порівняння котангенсів - те саме, тільки навпаки: ми дивимося, як ставляться один до одного відрізки, що визначають косинус і синус.

Спробуй самостійно порівняти такі тригонометричні вирази:

приклади.

Відповіді.

ПОРІВНЯННЯ ЧИСЕЛ. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ.

Яке із чисел більше: чи? Відповідь очевидна. А тепер: чи? Вже не так очевидно, правда? А так: чи?

Часто потрібно знати, який із числових виразів більший. Наприклад, щоб при розв'язанні нерівності розставити крапки на осі у правильному порядку.

Зараз навчу тебе порівнювати такі цифри.

Якщо треба порівняти числа і між ними ставимо знак (походить від латинського слова Versus або скорочено vs. - Проти): . Цей знак замінює невідомий нам знак нерівності ( ). Далі будемо виконувати тотожні перетворення доти, доки стане ясно, який саме знак потрібно поставити між числами.

Суть порівняння чисел полягає в наступному: ми ставимося до знака так, ніби це якийсь знак нерівності. І з виразом ми можемо робити все те, що робимо зазвичай з нерівностями:

  • додати будь-яке число до обох частин (і відняти, звичайно, теж можемо)
  • «перенести все в один бік», тобто відняти з обох частин одне з порівнюваних виразів. На місці віднімається вирази залишиться: .
  • домножувати чи ділити одне й те саме число. Якщо це число негативне, символ нерівності змінюється протилежний: .
  • зводити обидві частини на ту саму ступінь. Якщо цей ступінь - парний, необхідно переконатися, що обидві частини мають однаковий знак; якщо обидві частини позитивні, при зведенні на ступінь знак не змінюється, а якщо негативні, тоді змінюється на протилежний.
  • витягти корінь однакового ступеня з обох частин. Якщо вилучаємо корінь парного ступеня, необхідно заздалегідь переконатися, що обидва вирази негативні.
  • будь-які інші рівносильні перетворення.

Важливо: перетворення бажано робити такими, щоб знак нерівності не змінювався! Тобто в ході перетворень небажано примножувати на негативне число, і не можна зводити квадрат, якщо одна з частин негативна.

Розберемо кілька типових ситуацій.

1. Зведення на ступінь.

приклад.

Що більше: чи?

Рішення.

Оскільки обидві частини нерівності позитивні, можемо звести в квадрат, щоб позбавитися кореня:

приклад.

Що більше: чи?

Рішення.

Тут теж можемо звести в квадрат, але це нам допоможе позбутися лише від квадратного кореня. Тут треба зводити в такий ступінь, щоб обидва корені зникли. Отже, показник цього ступеня повинен ділитися і (ступінь першого кореня), і. Таким числом є, отже, зводимо в -ю ступінь:

2. Множення на сполучене.

приклад.

Що більше: чи?

Рішення.

Домножимо і розділимо кожну різницю на сполучену суму:

Очевидно, що знаменник у правій частині більший за знаменник у лівій. Тому правий дріб менше лівого:

3. Віднімання

Згадаймо, що.

приклад.

Що більше: чи?

Рішення.

Звичайно, ми могли б звести все в квадрат, перегрупувати і знову звести в квадрат. Але можна вчинити хитріше:

Видно, що у лівій частині кожне доданок менше кожного доданку, що у правій частині.

Відповідно, сума всіх доданків, що перебувають у лівій частині, менша від суми всіх доданків, що перебувають у правій частині.

Але будь уважний! У нас питали що більше...

Права частина більша.

приклад.

Порівняйте числа і.

Рішення.

Згадуємо формули тригонометрії:

Перевіримо, у яких чвертях на тригонометричному колі лежать точки і.

4. Розподіл.

Тут також використовуємо просте правило: .

При або, тобто.

При знак змінюється: .

приклад.

Виконай порівняння: .

Рішення.

5. Порівняйте числа з третім числом

Якщо і то (закон транзитивності).

приклад.

Порівняйте.

Рішення.

Порівняємо числа не один з одним, а з числом.

Очевидно, що.

З іншого боку, .

приклад.

Що більше: чи?

Рішення.

Обидва числа більші, але менші. Підберемо таке число, щоб воно було більше одного, але менше іншого. Наприклад, . Перевіримо:

6. Що робити з логарифмами?

Нічого особливого. Як позбавлятися логарифмів, докладно описано в темі . Основні правила такі:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Leftrightarrow (\rm( ))\left[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(при))\;a > 1)\\(x \wedge (a^b)\;(\rm(при))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\(x \wedge y\;(\rm(при))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

Також можемо додати правило про логарифми з різними підставамита однаковим аргументом:

Пояснити його можна так: чим більша підстава, тим менший рівень її доведеться звести, щоб отримати один і той же. Якщо ж підстава менша, то все навпаки, тому що відповідна функція монотонно спадає.

приклад.

Порівняйте числа: і.

Рішення.

Відповідно до вищеописаних правил:

А тепер формула для сучасних.

Правило порівняння логарифмів можна записати і коротше:

приклад.

Що більше: чи?

Рішення.

приклад.

Порівняйте, яке чисел більше: .

Рішення.

ПОРІВНЯННЯ ЧИСЕЛ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

1. Зведення на ступінь

Якщо обидві частини нерівності позитивні, їх можна звести в квадрат, щоб позбавитися кореня

2. Множення на сполучене

Сполученим називається множник, що доповнює вираз до формули різниці квадратів: - сполучене для і навпаки, т.к. .

3. Віднімання

4. Поділ

При або тобто

При змінюється:

5. Порівняння з третім числом

Якщо і, то

6. Порівняння логарифмів

Основні правила:

Логарифми з різними підставами та однаковим аргументом:

Ну ось тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, то ти дуже крутий.

Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!

Тепер найголовніше.

Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторю, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього не вистачить.

Для чого?

Для успішної здачі ЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ.

Люди, які здобули хорошу освіту, заробляють набагато більше, ніж ті, хто її не отримав. Це – статистика.

Але й це – не головне.

Головне те, що вони БІЛЬШ ЩАСТЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостей, і життя стає яскравішим? Не знаю...

Але, думай сам...

Що потрібно, щоб бути, напевно, кращим за інших на ЄДІ і бути зрештою… щасливішим?

Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.

На іспиті в тебе не питатимуть теорію.

Тобі треба буде вирішувати завдання на час.

І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоб виграти напевно.

Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розборомі вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.

Як? Є два варіанта:

  1. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті
  2. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. Купити підручник - 899 руб

Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстів у них можна відкрити одразу.

Доступ до всіх прихованих завдань надається на весь час існування сайту.

І насамкінець...

Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

"Зрозумів" і "Умію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.

Знайди завдання та вирішуй!