Сума 100 різних натуральних чисел дорівнює 5130
Джерело завдання: Рішення 3754. ЄДІ 2016. Математика, І. В. Ященко. 30 варіантів типових тестових завдань.
Завдання 19. На дошці було написано 20 натуральних чисел (необов'язково різних), кожне з яких не перевищує 40. Замість деяких з чисел (можливо, одного) на дошці написали числа, менші первинних на одиницю. Числа, які після цього виявилися рівними 0, з дошки стерли.
а) Чи могло виявитися так, що середнє арифметичне чисел на дошці збільшилася?
б) Середнє арифметичне спочатку написаних чисел дорівнювало 27. Чи могло середнє арифметичне решти на дошці чисел виявитися рівним 34?
в) Середнє арифметичне спочатку написаних чисел дорівнювало 27. Знайдіть найбільше можливе значення середнього арифметичного чисел, які залишилися на дошці.
Рішення.
а) Так, може, наприклад, якщо взяти 19 чисел, рівних 10, а 20-е рівне 1, то після зменшення 20-го числа на 1, воно стає рівним 0 і виходить середнє значення вже не 20 чисел, а 19-ти, то тобто маємо:
Первісне середнє значення:;
Середнє значення після зміни: 
.
Як бачимо, друге середнє значення стало більше вихідного.
б) Припустимо, що для виконання цієї умови потрібно взяти одиниць, потім взяти чисел і одне число, всього 20 чисел. Їх середнє арифметичне дорівнюватиме
,
а після стирання одиниць повинні отримати
,
тобто маємо систему рівнянь:
Віднімемо від першого рівняння друге, одержимо:
Таким чином, для виконання умови даного пункту потрібно взяти дробову кількість чисел, що неможливо в рамках даного завдання.
відповідь: немає.
в) Щоб отримати максимальне середнє залишилися на дошці чисел, спочатку потрібно записати набір чисел, що складаються з найбільшого числа одиниць (які, потім, будуть стерті з дошки), а інші числа повинні бути максимальними. Запишемо цю умову у вигляді
,
де - число одиниць; - 20-е число (воно вибирається так, щоб забезпечити середнє рівним 27). Звідси маємо:
З отриманого виразу видно, що мінімальне значення, при якому отримаємо максимальне значення. Таким чином, маємо послідовність чисел, сума яких дорівнює
На дошці написано 100 різних натуральних чисел з сумою 5120.
а) Чи може бути записано число 230?
б) Чи можна обійтися без числа 14?
в) Яку найменшу кількість чисел, кратних 14, може бути на дошці?
Рішення.
а) Нехай на дошці написано число 230 і 99 інших різних натуральних чисел. Мінімально можлива сума чисел на дошці досягається за умови, що сума 99 різних натуральних чисел мінімальна. А це, в свою чергу, можливо, якщо 99 різних натуральних числа - арифметична прогресія з першим членом і різницею Сума цих чисел, за формулою суми арифметичної прогресії, складе:
Сума всіх чисел на дошці S буде дорівнює:
Неважко помітити, що отримана сума більше, ніж 5120, а це означає, що і будь-яка сума 100 різних натуральних чисел, серед яких є 230, більше 5120, отже, числа 230 на дошці бути не може.
б) Нехай дошка буде записано число 14. У такому випадку, мінімально можлива сума S чисел на дошці буде складатися з двох сум арифметичних прогресій: суми перших 13 членів прогресії з першим членом, різницею (тобто ряду 1,2,3, .. 13) і суми перших 87 членів прогресії з першим членом, різницею (тобто ряду 15,16,17, .. 101). Знайдемо цю суму:
Неважко помітити, що отримана сума більше, ніж 5120, а це означає, що і будь-яка сума 100 різних натуральних чисел, серед яких немає 14, більше 5120, отже, без числа 14 на дошці обійтися не можна.
в) Припустимо, що на дошці виписані всі числа від 1 до 100. Тоді виходить, що отриманий ряд становить арифметичну прогресію з першим членом, різницею За формулою для суми арифметичної прогресії знайдемо суму всіх чисел на дошці:
Отримана сума не задовольняє умові завдання. Тепер, щоб збільшити суму всіх чисел, написаних на дошці до позначеної в умови, спробуємо замінити числа, кратні 14 на інші числа, які йдуть за сотнею: 70 замінимо на 110, 84 - на 104, а 98 - на 108. Отримана сума S буде дорівнює:
При подальшій заміні чисел, кратних 14 на числа, великі 100, сума буде збільшуватися і не відповідати умові завдання. Таким чином, найменша кількість чисел, кратних 14 дорівнює 4.
Наведемо інше рішення пункту в).
Наведемо приклад, коли на дошці написано чотири числа, кратних 14 (14, 28, 42, 56):
1, 2, ... , 69, 71, 72, ... , 83, 85, 86, ... , 97, 100, 101, 102, 103, 115.
Доведемо, що не може бути трьох чисел, кратних 14. Щоб прибрати максимальну кількість чисел, кратних 14, необхідно, щоб різниці між новими і старими числами були мінімальними. Тобто замінювати треба найбільші числа, кратні 14, на найменші можливі, більші ста числа. Нехай кількість чисел, кратних 14, дорівнює 3. Тоді мінімальна сума записаних на дошці чисел дорівнює:
Отримана сума більше, ніж 5120. При подальшій заміні чисел, кратних 14, на числа, великі 100, сума буде збільшуватися, отже, на дошці не може бути менше чотирьох чисел, кратних 14.
А) Ні б) Ні в) 4.
Posted on 14.03.2018
5 (100%) 1 vote
На дошці написано 100 різних натуральних чисел, причому відомо, що сума цих чисел дорівнює 5120.
а) Чи може на дошці бути написано число 230?
б) Чи може бути таке, що на дошці не написано число 14?
в) Яку найменшу кількість чисел, кратних 14, написано на дошці?
Як вирішити? Бажано під усіма літерами.
математика,
утворення
відповісти
коментувати
у обране
Sadne-ss
2 хвилини тому
а) Порахуємо варіант, при якому сума буде самої найменшої. Природно, це просто сума перших ста чисел, тобто 1+2+3…+100
. Можна вважати перебираючи, а можна через формулу " суми арифметичної прогресії".
Тепер розраховуємо суму. S100 \u003d ((1 + 100) / 2) * 1-00 \u003d 5050;
Нам треба спробувати як-небудь, замінити будь-яке число в нашому ряду на 230 . Дізнаємося, якої суми нам не дістає до заданої в умові: 5120-5050=70 , Ага, а яке найбільше число було в нашому ряду? правильно, 100 . Виходить, найбільше число, на яке ми зможемо замінити будь-яке число з нашого ряду, це 170 . А значить, числа 230 в ряду ніяк бути не може.
Відповіді немає;
б) Візьмемо, все той же ряд, від 1 до 100, Але приберемо звідти число 14 і спробуємо замінити його іншим. Наприклад, спробуємо взяти найменше число після 100 , а саме 101 і проведемо заміну. Суму перших ста чисел ми знайшли, а значить, для заміни, нам треба відняти від неї 14 і додати нове значення 101: 5050-14+101=5137 -. На жаль в умові сказано, що сума дорівнює 5120 , Тому на жаль, не можна виключати число 14 з нашого списку.
Відповідь: б) Ні;
в) Знайдемо всі числа кратні 14 з нашого ряду ( від 1 до 100). Існує безліч способів знаходження кратних значень, але в нашому випадку, число не таке велике, їх можна перебрати в ручну, отримуємо ряд, за допомогою додавання: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98 . Всього 7 чисел кратних 14. Тепер спробуємо замінити їх на більш великі значення не кратні 14, Оскільки на даний момент, наша сума становить 5050. Замінимо найбільше кратне число на найменше з невикористаних: 98 на 101;
Наша сума стане: (101-98)+5050=5053- ;
Сума: (102-84) + 5053 \u003d 5071-;
Місце ще є, продовжуємо. Замінимо 70 на 103;
Сума: (103-70) + 5071 \u003d 5104-;
5104 , Як і раніше менше 5120, Значить йдемо далі. Замінимо 56 на 104;
Сума: (104-56) + 5104 \u003d 5152-;
Вийшло більше ніж треба, А значить, потрібно
Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішної здачі ЄДІ з математики на 60-65 балів. Повністю всі завдання 1-13 Профільної ЄДІ з математики. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!
Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класу, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) і завдання 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтися ні стобалльніку, ні гуманітарію.
Вся необхідна теорія. Швидкі способи вирішення, пастки і секрети ЄДІ. Розібрані всі актуальні завдання частини 1 з Банку завдань ФІПІ. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.
Курс містить 5 великих тим, за 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, просто і зрозуміло.
Сотні завдань ЄДІ. Текстові завдання і теорія ймовірностей. Прості і легко запам'ятовуються алгоритми вирішення задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, розбір всіх типів завдань ЄДІ. Стереометрія. Хитрі прийоми рішення, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня і логарифми, функція і похідна. База для вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.