Аналіз, матричний. Матричний аналіз матричний метод розробки стратегій

11.3. Матричний метод розробки стратегій Розробка бачення організацііРазлічние стану зовнішнього і внутрішнього середовища організацій пояснюють різноманітність самих організацій та їх фактичне состояніе.Многофакторность параметрів, що визначають положення кожної

Курс лекцій з дисципліни

«Матричний аналіз»

для студентів II курсу

математичного факультету спеціальності

"Економічна кібернетика"

(Лектор Дмитрук Марія Олександрівна)

1. Визначення функції.

Df. нехай

Вирішення цього завдання відомо, коли f (x) - многочлен:

Визначення f (A) в загальному випадку.

Нехай m (x) - мінімальний багаточлен А і він має таке канонічний розклад

Нехай g (A) \u003d h (A) (1), тоді многочлен d (x) \u003d g (x) -h (x) - анулює многочлен для А, так як d (A) \u003d 0, отже, d (x ) ділиться на лінійний многочлен, тобто d (x) \u003d m (x) * q (x) (2).

Домовимося m чисел для f (x) таких

Якщо безліч f (Sp A) визначено для f (x), то функція визначена на спектрі матриці А.

З (3) випливає, що многочлени h (x) і g (x) мають однакові значення на спектрі матриці А.

Наші міркування оборотні, тобто з (3) Þ (3) Þ (1). Таким чином, якщо задана матриця А, то значення многочлена f (x) цілком визначається значеннями цього многочлена на спектрі матриці А, тобто всі многочлени g i (x), які беруть однакові значення на спектрі матриці мають однакові матричні значення g i (A). Вимагатимемо, щоб визначення значення f (A) в загальному випадку підпорядковувалося таким же принципом.

Значення функції f (x) на спектрі матриці А повинні полносільно визначити f (A), тобто функції, які мають одні і ті ж значення на спектрі повинні мати один і той же матричне значення f (A). Очевидно, що для визначення f (A) в загальному випадку, досить знайти многочлен g (x), який би брав ті ж значення на спектрі А, що і функція f (A) \u003d g (A).

Df. Якщо f (x) визначена на спектрі матриці А, то f (A) \u003d g (A), де g (A) - многочлен, що приймає на спектрі ті ж значення, що і f (A),

Df.Значним функції від матриці А назвемо значення многочлена від цієї матриці при

Серед многочленів з З [x], які приймають однакові значення на спектрі матриці А, що і f (x), ступеня не вище (m-1), який приймає однакові значення на спектрі А, що і f (x) - це залишок від ділення будь-якого многочлена g (x), що має ті ж значення на спектрі матриці А, що і f (x), на мінімальний многочлен m (x) \u003d g (x) \u003d m (x) * g (x) + r (x) .

Цей многочлен r (x) називають інтерполяційним многочленом Лагранжа-Сільвестра для функції f (x) на спектрі матриці А.

Зауваження. Якщо мінімальний багаточлен m (x) матриці А не має кратних коренів, тобто

приклад:

Знайти r (x) для довільної f (x), якщо матриця

. Побудуємо f (H 1). Знайдемо мінімальний многочлен H 1 - останній інваріантний множник:

, D n-1 \u003d x 2; d n-1 \u003d 1;

m x \u003d f n (x) \u003d d n (x) / d n-1 (x) \u003d x nÞ 0 - n-кратної корінь m (x), тобто n-кратні власні значення H 1.

, R (0) \u003d f (0), r '(0) \u003d f' (0), ..., r (n-1) (0) \u003d f (n-1) (0)Þ .

2. Властивості функцій від матриць.

Властивість № 1. якщо матриця

Доказ:

Нехай характеристичний поліном А має вигляд:

Зробимо заміну в рівність:

Рівність (*) справедливо для будь-якого безлічі f (x), тому замінимо многочлен f (x) на

Зліва ми отримали характеристичний многочлен для матриці f (A), розкладений справа на лінійні множники, звідки випливає, що

ЧТД.

Властивість № 2. нехай матриця

Доказ:

Оскільки функція f (x) визначена на спектрі матриці А, то існує інтерполяційний многочлен матриці r (x) такий, що

Курс лекцій з дисципліни

«Матричний аналіз»

для студентів II курсу

математичного факультету спеціальності

"Економічна кібернетика"

(Лектор Дмитрук Марія Олександрівна)

Глава 3. Функції від матриць.

1. Визначення функції.

Df. Нехай функція скалярного аргументу. Потрібно визначити, що розуміти під f (A), тобто потрібно поширити функцію f (x) на матричне значення аргументу.

Вирішення цього завдання відомо, коли f (x) багаточлен:, тоді.

Визначення f (A) в загальному випадку.

Нехай m (x) мінімальний багаточлен А і він має таке канонічний розклад, власні значення А. Нехай многочлени g (x) і h (x) приймають однакові значення.

Нехай g (A) \u003d h (A) (1), тоді многочлен d (x) \u003d g (x) -h (x) анулює многочлен для А, так як d (A) \u003d 0, отже, d (x) ділиться на лінійний многочлен, тобто d (x) \u003d m (x) * q (x) (2).

Тоді, тобто (3),.

Домовимося m чисел для f (x) таких називати значеннями функції f (x) на спектрі матриці А, а безліч цих значень будемо позначати.

Якщо безліч f (Sp A) визначено для f (x), то функція визначена на спектрі матриці А.

З (3) випливає, що многочлени h (x) і g (x) мають однакові значення на спектрі матриці А.

Наші міркування оборотні, тобто з (3) (3) (1). Таким чином, якщо задана матриця А, то значення многочлена f (x) цілком визначається значеннями цього многочлена на спектрі матриці А, тобто всі многочлени gi (x), які беруть однакові значення на спектрі матриці мають однакові матричні значення gi (A). Вимагатимемо, щоб визначення значення f (A) в загальному випадку підпорядковувалося таким же принципом.

Значення функції f (x) на спектрі матриці А повинні полносільно визначити f (A), тобто функції, які мають одні і ті ж значення на спектрі повинні мати один і той же матричне значення f (A). Очевидно, що для визначення f (A) в загальному випадку, досить знайти многочлен g (x), який би брав ті ж значення на спектрі А, що і функція f (A) \u003d g (A).

Df. Якщо f (x) визначена на спектрі матриці А, то f (A) \u003d g (A), де g (A) многочлен, який бере на спектрі ті ж значення, що і f (A),

Df. Значним функції від матриці А назвемо значення многочлена від цієї матриці при.

Серед многочленів з З [x], які приймають однакові значення на спектрі матриці А, що і f (x), ступеня не вище (m-1), який приймає однакові значення на спектрі А, що і f (x) це залишок від ділення будь-якого многочлена g (x), що має ті ж значення на спектрі матриці А, що і f (x), на мінімальний многочлен m (x) \u003d g (x) \u003d m (x) * g (x) + r (x).

Цей многочлен r (x) називають інтерполяційним многочленом Лагранжа-Сільвестра для функції f (x) на спектрі матриці А.

Зауваження. Якщо мінімальний багаточлен m (x) матриці А не має кратних коренів, тобто , То значення функції на спектрі.

приклад:

Знайти r (x) для довільної f (x), якщо матриця

. Побудуємо f (H1 ). Знайдемо мінімальний многочлен H1 останній інваріантний множник:

, dn-1\u003d x2 ; dn-1=1;

mx\u003d fn(X) \u003d dn(X) / dn-1(X) \u003d xn 0 nкратний корінь m (x), тобто n-кратні власні значення H1 .

, R (0) \u003d f (0), r(0) \u003d f(0), ..., r(N-1)(0) \u003d f(N-1)(0) .

1. Властивості функцій від матриць.

Властивість № 1. Якщо матриця має власні значення (серед них можуть бути і кратні), а, то власними значеннями матриці f (A) є власні значення многочлена f (x):.

Доказ:

Нехай характеристичний поліном А має вигляд:

Порахуємо. Перейдемо від рівності до определителям:

Зробимо заміну в рівність:

Рівність (*) справедливо для будь-якого безлічі f (x), тому замінимо многочлен f (x) на, отримаємо:

Зліва ми отримали характеристичний многочлен для матриці f (A), розкладений справа на лінійні множники, звідки випливає, що власні значення матриці f (A).

ЧТД.

Властивість № 2. Нехай матриця і власні значення матриці А, f (x) довільна функція, певна на спектрі матриці А, тоді власні значення матриці f (A) рівні.

Доказ:

Оскільки функція f (x) визначена на спектрі матриці А, то існує інтерполяційний многочлен матриці r (x) такий, що, а тоді f (A) \u003d r (A), а у матриці r (A) власними значеннями по властивості № 1 будуть яким відповідно рівні.

ЧТД.

Властивість № 3. Якщо А і В подібні матриці, тобто , І f (x) довільна функція, певна на спектрі матриці А, тоді

Доказ:

Оскільки А та В подібні, то їх характеристичні многочлени однакові однакові і їх власні значення, тому значення f (x) на спектрі матриці А збігається з значення функції f (x) на спектрі матриці В, при чому існує інтерполяційний многочлен r (x) такий, що f (A) \u003d r (A),.

ЧТД.

Властивість № 4. Якщо А блочно-діагональна матриця, то

слідство: Якщо, то, де f (x) функція, певна на спектрі матриці А.

1. Многочлен Лагранжа-Сільвестра.

Випадок № 1.

Нехай дана. Розглянемо перший випадок: характеристичний многочлен має рівно n коренів, серед яких немає кратних, тобто всі власні значення матриці А різні, тобто , Sp A простий. В цьому випадку побудуємо базисні многочлени lk (x):

Нехай f (x) функція, певна на спектрі матриці А і значеннями цієї функції на спектрі будуть. Треба побудувати.

побудуємо:

Звернемо увагу, що.

Приклад: Побудувати інтерполяційний многочлен Лагранжа-Сільвестра для матриці.

Побудуємо базисні многочлени:

Тоді для функції f (x), визначеної на спектрі матриці А, ми отримаємо:

візьмемо, Тоді інтерполяційний многочлен

Випадок № 2.

Характеристичний поліном А має кратні корені, але мінімальний многочлен цієї матриці є дільником характеристичного многочлена і має тільки прості коріння, тобто . В цьому випадку інтерполяційний многочлен будується так само як і в попередньому випадку.

Випадок № 3.

Розглянемо загальний випадок. Нехай мінімальний многочлен має вигляд:

де m1 + m2 + ... + ms \u003d m, deg r (x)

Складемо дрібно-раціональну функцію:

і розкладемо її на найпростіші дроби.

Позначимо:. Помножимо (*) на і отримаємо

де деяка функція, що не звертається в нескінченність при.

Якщо в (**) покласти, отримаємо:

Для того, щоб знайти ak3 треба (**) продифференцировать двічі і т.д. Таким чином, коефіцієнт aki визначається однозначно.

Після знаходження всіх коефіцієнтів повернемося до (*), помножимо на m (x) і отримаємо інтерполяційний многочлен r (x), тобто

Приклад: Знайти f (A), якщо, Де t деякий параметр,

Перевіримо, чи визначена функція на спектрі матриці А

Помножимо (*) на (х-3)

при х \u003d 3

Помножимо (*) на (х-5)

Таким чином, - інтерполяційний многочлен.

Приклад 2.

якщо, То довести, що

Знайдемо мінімальний многочлен матриці А:

- характеристичний многочлен.

d2 (X) \u003d 1, тоді мінімальний многочлен

Розглянемо f (x) \u003d sin x на спектрі матриці:

функція є певною на спектрі.

Помножимо (*) на

.

Помножимо (*) на:

Обчислимо, взявши похідну (**):

. вважаючи,

, Тобто.

Отже,,

Приклад 3.

Нехай f (x) визначена на спектрі матриці, мінімальний многочлен якої має вигляд. Знайти інтерполяційний многочлен r (x) для функції f (x).

Рішення: За умовою f (x) визначена на спектрі матриці А f (1), f(1), f (2), f(2), f (2) визначені.

Використовуємо метод невизначених коефіцієнтів:

Якщо f (x) \u003d ln x

f (1) \u003d 0f(1)=1

f (2) \u003d ln 2f(2)=0.5 f(2)=-0.25

4. Прості матриці.

Нехай матриця, так як С алгебраїчно замкнутий поле, то ха

Матричний аналіз або матричний метод знайшов широке поширення при порівняльній оцінці різних господарських систем (підприємств, окремих підрозділів підприємств і т.п.). Матричний метод дозволяє визначити інтегральну оцінку кожного підприємства за кількома показниками. Ця оцінка називається рейтингом підприємства. Розглянемо застосування матричного методу поетапно на конкретному прикладі.

1. Вибір оціночних показників і формування матриці вихідних даних a ij, Тобто таблиці, де по рядках відображаються номери систем (підприємств), а по стовпцях номери показників (i \u003d 1,2 ... .n) - системи; (J \u003d 1,2 ... ..n) - показники. Вибрані показники повинні мати однакову спрямованість (чим більше, тим краще).

2. Складання матриці стандартизованих коефіцієнтів. У кожному стовпці визначається максимальний елемент, а потім всі елементи цього шпальти діляться на максимальний елемент. За результатами розрахунку створюється матриця стандартизованих коефіцієнтів.

Виділяємо в кожному стовпці максимальний елемент.

Курс лекцій з дисципліни

«Матричний аналіз»

для студентів II курсу

математичного факультету спеціальності

"Економічна кібернетика"

(Лектор Дмитрук Марія Олександрівна)

Глава 3. Функції від матриць.

1. Визначення функції.

Df. нехай - функція скалярного аргументу. Потрібно визначити, що розуміти під f (A), тобто потрібно поширити функцію f (x) на матричне значення аргументу.

Вирішення цього завдання відомо, коли f (x) - многочлен:, тоді.

Визначення f (A) в загальному випадку.

Нехай m (x) - мінімальний багаточлен А і він має таке канонічний розклад, , - власні значення А. Нехай многочлени g (x) і h (x) приймають однакові значення.

Нехай g (A) \u003d h (A) (1), тоді многочлен d (x) \u003d g (x) -h (x) - анулює многочлен для А, так як d (A) \u003d 0, отже, d (x ) ділиться на лінійний многочлен, тобто d (x) \u003d m (x) * q (x) (2).

Тоді, тобто (3), , , .

Домовимося m чисел для f (x) таких називати значеннями функції f (x) на спектрі матриці А, а безліч цих значень будемо позначати.

Якщо безліч f (Sp A) визначено для f (x), то функція визначена на спектрі матриці А.

З (3) випливає, що многочлени h (x) і g (x) мають однакові значення на спектрі матриці А.

Наші міркування оборотні, тобто з (3) Þ (3) Þ (1). Таким чином, якщо задана матриця А, то значення многочлена f (x) цілком визначається значеннями цього многочлена на спектрі матриці А, тобто всі многочлени g i (x), які беруть однакові значення на спектрі матриці мають однакові матричні значення g i (A). Вимагатимемо, щоб визначення значення f (A) в загальному випадку підпорядковувалося таким же принципом.

Значення функції f (x) на спектрі матриці А повинні полносільно визначити f (A), тобто функції, які мають одні і ті ж значення на спектрі повинні мати один і той же матричне значення f (A). Очевидно, що для визначення f (A) в загальному випадку, досить знайти многочлен g (x), який би брав ті ж значення на спектрі А, що і функція f (A) \u003d g (A).

Df. Якщо f (x) визначена на спектрі матриці А, то f (A) \u003d g (A), де g (A) - многочлен, що приймає на спектрі ті ж значення, що і f (A),

Df. Значним функції від матриці А назвемо значення многочлена від цієї матриці при .

Серед многочленів з З [x], які приймають однакові значення на спектрі матриці А, що і f (x), ступеня не вище (m-1), який приймає однакові значення на спектрі А, що і f (x) - це залишок від ділення будь-якого многочлена g (x), що має ті ж значення на спектрі матриці А, що і f (x), на мінімальний многочлен m (x) \u003d g (x) \u003d m (x) * g (x) + r (x) .

Цей многочлен r (x) називають інтерполяційним многочленом Лагранжа-Сільвестра для функції f (x) на спектрі матриці А.

Зауваження. Якщо мінімальний багаточлен m (x) матриці А не має кратних коренів, тобто , То значення функції на спектрі.

Знайти r (x) для довільної f (x), якщо матриця

. Побудуємо f (H 1). Знайдемо мінімальний многочлен H 1 - останній інваріантний множник:

, D n-1 \u003d x 2; d n-1 \u003d 1;

m x \u003d f n (x) \u003d d n (x) / d n-1 (x) \u003d x n Þ 0 - n-кратної корінь m (x), тобто n-кратні власні значення H 1.

R (0) \u003d f (0), r '(0) \u003d f' (0), ..., r (n-1) (0) \u003d f (n-1) (0) Þ.

Трійка є рішенням гри<=>, Коли є рішенням гри, де а - будь-дійсне число, до\u003e 0 Розділ 2. Ігри з нульовою сумою в чистих стратегіях 2.1 Обчислення оптимальних стратегій на прикладі вирішення завдань Використовуючи теорему про мінімакс, можна стверджувати, що кожна антагоністична гра має оптимальні стратегії. Теорема: нехай А - матрична гра і рядки даної ...

Картину, що не відповідають їй, є кандидатами на виключення зі сфери діяльності корпорації. 5. Розробка корпоративної стратегії Попередній аналіз підготував грунт для розробки стратегічних кроків щодо поліпшення діяльності диверсифікованої компанії. Основне висновок про те, що робити, залежить від висновків, які стосуються всього набору видів діяльності в господарському ...