분석, 매트릭스. 매트릭스 분석 매트릭스 전략 개발 방법

11.3. 전략 개발을위한 매트릭스 방법 조직의 비전 개발 조직의 외부 및 내부 환경의 다양한 상태는 조직 자체의 다양성과 실제 상태를 설명합니다.

분야별 강의 과정

"매트릭스 분석"

2 학년 학생

수학 전공 학부

"경제 사이버네틱스"

(강사 Maria Alexandrovna Dmitruk)

1. 기능 정의.

Df. 하자

이 문제에 대한 해결책은 f (x)가 다항식 일 때 알려져 있습니다.

일반적인 경우 f (A)의 정의.

m (x)를 최소 다항식 A라고합시다.

g (A) \u003d h (A) (1)라고 가정하면 다항식 d (x) \u003d g (x) -h (x)는 A에 대한 소멸 다항식입니다. d (A) \u003d 0이므로 d (x )는 선형 다항식으로 나눌 수 있습니다. d (x) \u003d m (x) * q (x) (2).

f (x)에 대한 m 개의 숫자에 동의합시다.

집합 f (Sp A)가 f (x)에 대해 정의 된 경우 함수는 행렬 A의 스펙트럼에서 정의됩니다.

(3)에서 다항식 h (x)와 g (x)는 행렬 A의 스펙트럼에서 동일한 값을 갖습니다.

우리의 추론은 되돌릴 수 있습니다. (3) Þ (3) Þ (1)에서. 따라서 행렬 A가 주어지면 다항식 f (x)의 값은 행렬 A의 스펙트럼 에서이 다항식의 값에 의해 완전히 결정됩니다. 행렬의 스펙트럼에서 동일한 값을 갖는 모든 다항식 g i (x)는 동일한 행렬 값 g i (A)를 갖습니다. 우리는 일반적인 경우 f (A) 값의 정의가 동일한 원칙을 따를 것을 요구합니다.

행렬 A의 스펙트럼에서 함수 f (x)의 값은 f (A)를 완전히 정의해야합니다. 즉, 스펙트럼에서 동일한 값을 갖는 함수는 동일한 매트릭스 값 f (A)를 가져야합니다. 분명히 일반적인 경우 f (A)를 결정하려면 스펙트럼 A에서 함수 f (A) \u003d g (A)와 동일한 값을 취하는 다항식 g (x)를 찾는 것으로 충분합니다.

Df. f (x)가 행렬 A의 스펙트럼에 정의 된 경우 f (A) \u003d g (A), 여기서 g (A)는 스펙트럼에서 f (A)와 동일한 값을 갖는 다항식입니다.

Df.행렬 A의 함수 값 우리는이 행렬의 다항식 값을

C [x]의 다항식 중에서 행렬 A의 스펙트럼에서 f (x)와 동일한 값을 취하고, (m-1)보다 높지 않은 차수, 스펙트럼 A에서 동일한 값을 취하고, f (x)는 행렬 A의 스펙트럼에서 f (x)와 최소 다항식 m (x) \u003d g (x) \u003d m과 동일한 값을 갖는 다항식 g (x)의 나머지 부분입니다. (x) * g (x) + r (x) ...

이 다항식 r (x)는 행렬 A의 스펙트럼에서 함수 f (x)에 대한 라그랑주-실베스터 보간 다항식이라고합니다.

논평. 행렬 A의 최소 다항식 m (x)에 다중 근이없는 경우, 즉

예:

행렬이 다음과 같은 경우 임의의 f (x)에 대해 r (x)를 구합니다.

... f (H 1)를 구성 해 봅시다. 최소 다항식 H 1-마지막 불변 인자를 찾으십시오.

, d n-1 \u003d x 2; d n-1 \u003d 1;

m x \u003d fn (x) \u003d dn (x) / dn-1 (x) \u003d xnÞ 0-n은 m (x)의 배수 루트입니다. H 1의 n 배 고유 값.

, r (0) \u003d f (0), r’(0) \u003d f’(0), ..., r (n-1) (0) \u003d f (n-1) (0)Þ .

2. 행렬 함수의 속성.

속성 번호 1. 매트릭스

증거:

행렬 A의 특성 다항식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

동등하게 대체 해 봅시다 :

등식 (*)은 모든 집합 f (x)에 유효하므로 다항식 f (x)를 다음으로 대체합니다.

왼쪽에는 행렬 f (A)에 대한 특성 다항식이 있으며 오른쪽에서 선형 인자로 분해되어 다음을 의미합니다.

CHTD.

부동산 번호 2. 매트릭스하자

증거:

때문에 함수 f (x)는 행렬 A의 스펙트럼에 정의 된 다음 행렬 r (x)의 보간 다항식이 존재합니다.

분야별 강의 과정

"매트릭스 분석"

2 학년 학생

수학 전공 학부

"경제 사이버네틱스"

(강사 Maria Alexandrovna Dmitruk)

3 장. 행렬의 함수.

1. 기능 정의.

Df. 함수를 스칼라 인수로 둡니다. f (A)가 의미하는 바를 결정하는 것이 필요합니다. 함수 f (x)를 인수의 행렬 값으로 확장해야합니다.

이 문제에 대한 해결책은 f (x)가 다항식 일 때 알려져 있습니다.

일반적인 경우 f (A)의 정의.

m (x)를 최소 다항식 A이고 정규 분해, A의 고유 값을가집니다. 다항식 g (x)와 h (x)가 동일한 값을 취하도록합니다.

g (A) \u003d h (A) (1)라고 가정하면 다항식 d (x) \u003d g (x) -h (x)는 A에 대한 소멸 다항식입니다. d (A) \u003d 0이므로 d (x )는 선형 다항식으로 나눌 수 있습니다. d (x) \u003d m (x) * q (x) (2).

그런 다음, 즉 (삼),.

행렬 A의 스펙트럼에서 f (x) 함수 f (x)의 값과 같은 f (x)에 대해 m 개의 숫자를 호출하고 이러한 값의 집합을 나타내는 데 동의합시다.

집합 f (Sp A)가 f (x)에 대해 정의 된 경우 함수는 행렬 A의 스펙트럼에서 정의됩니다.

(3)에서 다항식 h (x)와 g (x)는 행렬 A의 스펙트럼에서 동일한 값을 갖습니다.

우리의 추론은 되돌릴 수 있습니다. (3) (3) (1)에서. 따라서 행렬 A가 주어지면 다항식 f (x)의 값은 행렬 A의 스펙트럼 에서이 다항식의 값에 의해 완전히 결정됩니다. 행렬의 스펙트럼에서 동일한 값을 취하는 모든 다항식 gi (x)는 동일한 행렬 값 gi (A)를 갖습니다. 우리는 일반적인 경우 f (A) 값의 정의가 동일한 원칙을 따를 것을 요구합니다.

행렬 A의 스펙트럼에서 함수 f (x)의 값은 f (A)를 완전히 정의해야합니다. 즉, 스펙트럼에서 동일한 값을 갖는 함수는 동일한 매트릭스 값 f (A)를 가져야합니다. 분명히 일반적인 경우 f (A)를 결정하려면 스펙트럼 A에서 함수 f (A) \u003d g (A)와 동일한 값을 취하는 다항식 g (x)를 찾는 것으로 충분합니다.

Df. f (x)가 행렬 A의 스펙트럼에 정의 된 경우 f (A) \u003d g (A), 여기서 g (A)는 스펙트럼에서 f (A)와 동일한 값을 갖는 다항식입니다.

Df. 행렬 A의 함수 값 우리는이 행렬의 다항식 값을라고 부릅니다.

행렬 A의 스펙트럼에서 f (x)와 동일한 값을 취하는 C [x]의 다항식 중에서 (m-1)보다 높지 않은 차수, 스펙트럼 A에서 동일한 값을 취합니다. f (x)는 행렬 A의 스펙트럼에서 f (x)와 동일한 값을 갖는 다항식 g (x)를 최소 다항식 m (x) \u003d g로 나눈 나머지입니다. (x) \u003d m (x) * g (x) + r (x).

이 다항식 r (x)는 행렬 A의 스펙트럼에서 함수 f (x)에 대한 라그랑주-실베스터 보간 다항식이라고합니다.

논평. 행렬 A의 최소 다항식 m (x)에 다중 근이없는 경우, 즉 , 스펙트럼의 함수 값입니다.

예:

행렬이 다음과 같은 경우 임의의 f (x)에 대해 r (x)를 구합니다.

... 우리는 f (H1 ). 최소 다항식 H 구하기1 마지막 불변 요인 :

, dn-1\u003d x2 ; 디n-1=1;

미디엄엑스\u003d f엔(x) \u003d d엔(x) / dn-1(x) \u003d x엔 0 엔다중 루트 m (x), 즉 H의 n 배 고유 값1 .

, r (0) \u003d f (0), r(0) \u003d f(0), ..., r(n-1)(0) \u003d f(n-1)(0) .

1. 행렬 함수의 속성.

속성 번호 1. 행렬에 고유 값이 있고 (그중에 배수가있을 수 있음) 행렬 f (A)의 고유 값은 다항식 f (x) :의 고유 값입니다.

증거:

행렬 A의 특성 다항식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

세어 봅시다. 평등에서 결정자로 이동합시다.

동등하게 대체 해 봅시다 :

등식 (*)은 모든 집합 f (x)에 유효하므로 다항식 f (x)를 다음과 같이 대체합니다.

왼쪽에서는 오른쪽에서 선형 인자로 분해 된 행렬 f (A)의 특성 다항식을 얻었으며, 이는 행렬 f (A)의 고유 값을 의미합니다.

CHTD.

부동산 번호 2. 행렬 A의 행렬과 고유 값 f (x)를 행렬 A의 스펙트럼에 정의 된 임의의 함수라고 가정하면 행렬 f (A)의 고유 값은 동일합니다.

증거:

때문에 함수 f (x)는 행렬 A의 스펙트럼에 정의 된 다음 행렬 r (x)의 보간 다항식이 존재하며 f (A) \u003d r (A) 및 행렬 r (A )는 각각 동일한 속성 번호 1에 의한 고유 값을 갖습니다.

CHTD.

부동산 번호 3. A와 B가 유사한 행렬이면, 즉 , f (x)는 행렬 A의 스펙트럼에 정의 된 임의의 함수입니다.

증거:

때문에 A와 B가 비슷하면 특성 다항식이 동일하고 고유 값이 있으므로 행렬 A 스펙트럼의 f (x) 값은 행렬 B 스펙트럼의 함수 f (x) 값과 일치합니다. , f (A) \u003d r (A)가되는 보간 다항식 r (x)가 있습니다.

CHTD.

부동산 번호 4. A가 블록 대각 행렬이면

추론: 그렇다면 f (x)는 행렬 A의 스펙트럼에 정의 된 함수입니다.

1. Lagrange-Sylvester 보간 다항식.

사례 번호 1.

주어지게하십시오. 첫 번째 경우를 고려하십시오. 특성 다항식에는 정확히 n 개의 근이 있으며 그 중 배수가 없습니다. 행렬 A의 모든 고유 값이 다릅니다. , Sp A는 간단합니다. 이 경우 기본 다항식 lk (x)를 생성합니다.

f (x)를 행렬 A의 스펙트럼에 정의 된 함수로, 스펙트럼에서이 함수의 값이됩니다. 우리는 건설해야합니다.

빌드하자 :

유의하십시오.

예제 : 행렬에 대한 라그랑주-실베스터 보간 다항식 생성.

기본 다항식을 구성 해 보겠습니다.

그런 다음 행렬 A의 스펙트럼에 정의 된 함수 f (x)에 대해 다음을 얻습니다.

해 보자, 보간 다항식

사례 번호 2.

행렬 A의 특성 다항식은 여러 근을 갖지만이 행렬의 최소 다항식은 특성 다항식의 제수이며 단순 근만 있습니다. ... 이 경우 보간 다항식은 이전 경우와 동일한 방식으로 구성됩니다.

사례 번호 3.

일반적인 경우를 고려해 봅시다. 최소 다항식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

여기서 m1 + m2 +… + ms \u003d m, deg r (x)

분수 유리 함수를 작성해 보겠습니다.

가장 단순한 분수로 확장합니다.

우리는 다음을 나타냅니다. 곱하기 (*)

무한대로 가지 않는 기능은 어디에 있습니까?

(**)를 입력하면 다음을 얻습니다.

ak3를 찾기 위해서는 (**) 두 번 미분 할 필요가 있습니다. 따라서 계수 aki는 고유하게 결정됩니다.

모든 계수를 찾은 후 (*)로 돌아가서 m (x)을 곱하고 보간 다항식 r (x)을 얻습니다.

예 : f (A) 찾기어디서 t 일부 매개 변수,

행렬 A의 스펙트럼에 함수가 정의되어 있는지 확인하겠습니다.

(*)에 (x-3) 곱하기

x \u003d 3에서

(*)에 (x-5) 곱하기

그러므로, -보간 다항식.

예 2.

만약, 다음 증명

행렬 A의 최소 다항식을 찾으십시오.

-특성 다항식.

디2 (x) \u003d 1이면 최소 다항식

행렬의 스펙트럼에서 f (x) \u003d sin x를 고려하십시오.

기능은 스펙트럼에 따라 다릅니다.

곱하기 (*)

.

곱하기 (*):

미분 (**)을 사용하여 계산해 봅시다.

... 가정,

, 즉.

그래서,,

예 3.

최소 다항식이 다음과 같은 행렬의 스펙트럼에서 f (x)를 정의한다고 가정합니다.... 함수 f (x)에 대한 보간 다항식 r (x)를 찾습니다.

솔루션 : 조건에 따라 f (x)는 행렬 A f (1), f의 스펙트럼에서 정의됩니다.(1), f (2), f(2), f (2) 결정됩니다.

정의되지 않은 계수 방법을 사용합니다.

f (x) \u003d ln x 인 경우

f (1) \u003d 0에프(1)=1

f (2) \u003d ln 2에프(2)=0.5 에프(2)=-0.25

4. 단순 행렬.

행렬을 C는 대수적으로 닫힌 필드이므로 xa

매트릭스 분석 또는 매트릭스 방법은 다양한 경제 시스템 (기업, 기업의 개별 부서 등)의 비교 평가에 널리 사용됩니다. 매트릭스 방법을 사용하면 여러 지표에 대한 각 기업의 통합 평가를 결정할 수 있습니다. 이 등급을 기업 등급이라고합니다. 특정 예제를 사용하여 매트릭스 방법을 단계별로 적용하는 방법을 살펴 보겠습니다.

1. 추정 지표 선택 및 초기 데이터 매트릭스 형성 a ij즉, 시스템 수 (기업)가 행에 반영되고 표시기 수 (i \u003d 1,2… .n)가 열에 반영되는 테이블입니다. (j \u003d 1,2… ..n)-표시기. 선택한 지표는 동일한 초점을 가져야합니다 (많을수록 좋습니다).

2. 표준화 된 계수 행렬의 편집. 각 열은 최대 멤버를 결정한 다음 해당 열의 모든 멤버를 최대 멤버로 나눕니다. 계산 결과에 따라 표준화 된 계수의 행렬이 생성됩니다.

각 열에서 최대 요소를 선택하십시오.

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2 학년 학생

수학 전공 학부

"경제 사이버네틱스"

(강사 Maria Alexandrovna Dmitruk)

3 장. 행렬의 함수.

1. 기능 정의.

Df. 하자 스칼라 인수 함수입니다. f (A)가 의미하는 바를 결정하는 것이 필요합니다. 함수 f (x)를 인수의 행렬 값으로 확장해야합니다.

이 문제에 대한 해결책은 f (x)가 다항식 일 때 알려져 있습니다.

일반적인 경우 f (A)의 정의.

m (x)를 최소 다항식 A라고합시다. , A의 고유 값입니다. 다항식 g (x)와 h (x)가 동일한 값을 취하도록합니다.

g (A) \u003d h (A) (1)라고 가정하면 다항식 d (x) \u003d g (x) -h (x)는 A에 대한 소멸 다항식입니다. d (A) \u003d 0이므로 d (x )는 선형 다항식으로 나눌 수 있습니다. d (x) \u003d m (x) * q (x) (2).

그런 다음, 즉 (삼), , , .

행렬 A의 스펙트럼에서 f (x) 함수 f (x)의 값과 같은 f (x)에 대해 m 개의 숫자를 호출하고 이러한 값의 집합을 나타내는 데 동의합시다.

집합 f (Sp A)가 f (x)에 대해 정의 된 경우 함수는 행렬 A의 스펙트럼에서 정의됩니다.

(3)에서 다항식 h (x)와 g (x)는 행렬 A의 스펙트럼에서 동일한 값을 갖습니다.

우리의 추론은 되돌릴 수 있습니다. (3) Þ (3) Þ (1)에서. 따라서 행렬 A가 주어지면 다항식 f (x)의 값은 행렬 A의 스펙트럼 에서이 다항식의 값에 의해 완전히 결정됩니다. 행렬의 스펙트럼에서 동일한 값을 갖는 모든 다항식 g i (x)는 동일한 행렬 값 g i (A)를 갖습니다. 우리는 일반적인 경우 f (A) 값의 정의가 동일한 원칙을 따를 것을 요구합니다.

행렬 A의 스펙트럼에서 함수 f (x)의 값은 f (A)를 완전히 정의해야합니다. 즉, 스펙트럼에서 동일한 값을 갖는 함수는 동일한 매트릭스 값 f (A)를 가져야합니다. 분명히 일반적인 경우 f (A)를 결정하려면 스펙트럼 A에서 함수 f (A) \u003d g (A)와 동일한 값을 취하는 다항식 g (x)를 찾는 것으로 충분합니다.

Df. f (x)가 행렬 A의 스펙트럼에 정의 된 경우 f (A) \u003d g (A), 여기서 g (A)는 스펙트럼에서 f (A)와 동일한 값을 갖는 다항식입니다.

Df. 행렬 A의 함수 값은 다음에 대한이 행렬의 다항식 값입니다. .

C [x]의 다항식 중에서 행렬 A의 스펙트럼에서 f (x)와 동일한 값을 취하고, (m-1)보다 높지 않은 차수, 스펙트럼 A에서 동일한 값을 취하고, f (x)는 행렬 A의 스펙트럼에서 f (x)와 최소 다항식 m (x) \u003d g (x) \u003d m과 동일한 값을 갖는 다항식 g (x)의 나머지 부분입니다. (x) * g (x) + r (x) ...

이 다항식 r (x)는 행렬 A의 스펙트럼에서 함수 f (x)에 대한 라그랑주-실베스터 보간 다항식이라고합니다.

논평. 행렬 A의 최소 다항식 m (x)에 다중 근이없는 경우, 즉 , 스펙트럼의 함수 값입니다.

행렬이 다음과 같은 경우 임의의 f (x)에 대해 r (x)를 구합니다.

... f (H 1)를 구성 해 봅시다. 최소 다항식 H 1-마지막 불변 인자를 찾으십시오.

, d n-1 \u003d x 2; d n-1 \u003d 1;

m x \u003d f n (x) \u003d d n (x) / d n-1 (x) \u003d xn Þ 0-n은 m (x)의 배수 루트입니다. H 1의 n 배 고유 값.

R (0) \u003d f (0), r '(0) \u003d f'(0), ..., r (n-1) (0) \u003d f (n-1) (0) Þ.

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