Analiza, matrica. Matrična analiza Matrična metoda razvoja strategije

11.3. Matrična metoda za razvoj strategija Razvoj vizije organizacije Različita stanja vanjskog i unutarnjeg okruženja organizacija objašnjavaju raznolikost samih organizacija i njihovo stvarno stanje. Multifaktorski parametri koji određuju položaj svake organizacije

Predavanja po disciplinama

"Matrična analiza"

za studente 2. godine

specijalnosti Matematičkog fakulteta

"Ekonomska kibernetika"

(predavač Dmitruk Maria Alexandrovna)

1. Definicija funkcije.

Df. Neka bude

Rješenje ovog problema poznato je kad je f (x) polinom:

Definicija f (A) u općem slučaju.

Neka je m (x) minimalni polinom A i ima takvu kanonsku dekompoziciju

Neka je g (A) \u003d h (A) (1), tada je polinom d (x) \u003d g (x) -h (x) poništavajući polinom za A, budući da je d (A) \u003d 0, dakle d (x ) je djeljiv linearnim polinomom, tj d (x) \u003d m (x) * q (x) (2).

Dogovorimo se oko m brojeva za f (x) takvih

Ako je skup f (Sp A) definiran za f (x), tada je funkcija definirana na spektru matrice A.

Iz (3) proizlazi da polinomi h (x) i g (x) imaju iste vrijednosti na spektru matrice A.

Naše je razmišljanje reverzibilno, t.j. iz (3) Þ (3) Þ (1). Dakle, ako je data matrica A, tada je vrijednost polinoma f (x) u potpunosti određena vrijednostima ovog polinoma na spektru matrice A, t.j. svi polinomi g i (x) koji uzimaju iste vrijednosti na spektru matrice imaju iste vrijednosti matrice g i (A). Zahtijevamo da se definicija vrijednosti f (A) u općem slučaju pokorava istom principu.

Vrijednosti funkcije f (x) na spektru matrice A moraju u potpunosti definirati f (A), tj. funkcije koje imaju iste vrijednosti na spektru moraju imati istu vrijednost matrice f (A). Očito je za određivanje f (A) u općenitom slučaju dovoljno pronaći polinom g (x) koji bi na spektru A zauzeo iste vrijednosti kao i funkcija f (A) \u003d g (A).

Df. Ako je f (x) definiran na spektru matrice A, tada je f (A) \u003d g (A), gdje je g (A) polinom koji ima iste vrijednosti na spektru kao f (A),

Df.Vrijednost funkcije matrice A vrijednost polinoma ove matrice nazivamo za

Među polinomima iz C [x], uzimajući iste vrijednosti na spektru matrice A kao f (x), stupnja koji nije veći od (m-1), uzimajući iste vrijednosti na spektru A, kao f (x) je ostatak podjele bilo koji polinom g (x) koji ima iste vrijednosti na spektru matrice A kao f (x) s minimalnim polinomom m (x) \u003d g (x) \u003d m (x) * g (x) + r (x) ...

Taj se polinom r (x) naziva Lagrange-Sylvesterovim interpolacijskim polinomom za funkciju f (x) na spektru matrice A.

Komentar. Ako minimalni polinom m (x) matrice A nema višestrukih korijena, t.j.

Primjer:

Nađi r (x) za proizvoljni f (x) ako je matrica

... Konstruirajmo f (H 1). Pronađite minimalni polinom H 1 - posljednji nepromjenjivi faktor:

, d n-1 \u003d x 2; d n-1 \u003d 1;

m x \u003d f n (x) \u003d d n (x) / d n-1 (x) \u003d x nÞ 0 - n je višestruki korijen od m (x), tj. n-puta vlastite vrijednosti H 1.

, r (0) \u003d f (0), r ’(0) \u003d f’ (0), ..., r (n-1) (0) \u003d f (n-1) (0)Þ .

2. Svojstva funkcija matrica.

Broj nekretnine 1. Ako matrica

Dokaz:

Neka karakteristični polinom matrice A ima oblik:

Napravimo zamjenu u jednakosti:

Jednakost (*) vrijedi za bilo koji skup f (x), stoga polinom f (x) zamjenjujemo sa

S lijeve strane dobili smo karakteristični polinom za matricu f (A), rastavljen s desne strane na linearne faktore, što implicira da

CHTD.

Nekretnina broj 2. Neka matrica

Dokaz:

Jer funkcija f (x) je definirana na spektru matrice A, tada postoji interpolacijski polinom matrice r (x) takav da

Predavanja po disciplinama

"Matrična analiza"

za studente 2. godine

specijalnosti Matematičkog fakulteta

"Ekonomska kibernetika"

(predavač Dmitruk Maria Alexandrovna)

Poglavlje 3. Funkcije iz matrica.

1. Definicija funkcije.

Df. Neka funkcija bude skalarni argument. Potrebno je utvrditi što se podrazumijeva pod f (A), tj. trebate proširiti funkciju f (x) na matričnu vrijednost argumenta.

Rješenje ovog problema poznato je kad je f (x) polinom :, tada.

Definicija f (A) u općem slučaju.

Neka je m (x) minimalni polinom A i ima takvu kanonsku dekompoziciju, vlastite vrijednosti A. Neka polinomi g (x) i h (x) imaju iste vrijednosti.

Neka je g (A) \u003d h (A) (1), tada je polinom d (x) \u003d g (x) -h (x) poništavajući polinom za A, budući da je d (A) \u003d 0, dakle d (x ) je djeljiv linearnim polinomom, tj. d (x) \u003d m (x) * q (x) (2).

Tada, tj. (3) ,.

Dogovorimo se nazvati m brojeva za f (x) takve vrijednosti funkcije f (x) na spektru matrice A i označiti skup tih vrijednosti.

Ako je skup f (Sp A) definiran za f (x), tada je funkcija definirana na spektru matrice A.

Iz (3) proizlazi da polinomi h (x) i g (x) imaju iste vrijednosti na spektru matrice A.

Naše je razmišljanje reverzibilno, t.j. iz (3) (3) (1). Dakle, ako je data matrica A, tada je vrijednost polinoma f (x) u potpunosti određena vrijednostima ovog polinoma na spektru matrice A, t.j. svi polinomi gi (x) koji uzimaju iste vrijednosti na spektru matrice imaju iste vrijednosti matrice gi (A). Zahtijevamo da se definicija vrijednosti f (A) u općem slučaju pokorava istom principu.

Vrijednosti funkcije f (x) na spektru matrice A moraju u potpunosti definirati f (A), tj. funkcije koje imaju iste vrijednosti na spektru moraju imati istu vrijednost matrice f (A). Očito je za određivanje f (A) u općenitom slučaju dovoljno pronaći polinom g (x) koji bi na spektru A zauzeo iste vrijednosti kao i funkcija f (A) \u003d g (A).

Df. Ako je f (x) definiran na spektru matrice A, tada je f (A) \u003d g (A), gdje je g (A) polinom koji ima iste vrijednosti na spektru kao f (A),

Df. Vrijednost funkcije matrice A vrijednost polinoma ove matrice nazivamo at.

Među polinomima iz C [x] koji uzimaju iste vrijednosti na spektru matrice A kao f (x), stupnja koji nije veći od (m-1), uzimajući iste vrijednosti na spektru A, kao f (x) je ostatak dijeljenja bilo kojeg od polinoma g (x), koji ima iste vrijednosti na spektru matrice A kao f (x), s minimalnim polinomom m (x) \u003d g (x) \u003d m (x) * g (x) + r (x).

Taj se polinom r (x) naziva Lagrange-Sylvesterovim interpolacijskim polinomom za funkciju f (x) na spektru matrice A.

Komentar. Ako minimalni polinom m (x) matrice A nema višestrukih korijena, t.j. , tada vrijednost funkcije na spektru.

Primjer:

Nađi r (x) za proizvoljni f (x) ako je matrica

... Konstruiramo f (H1 ). Naći minimalni polinom H1 posljednji nepromjenjivi faktor:

, dn-1\u003d x2 ; dn-1=1;

mx\u003d fn(x) \u003d dn(x) / dn-1(x) \u003d xn 0 nvišestruki korijen m (x), tj. n-puta vlastite vrijednosti H1 .

, r (0) \u003d f (0), r(0) \u003d f(0), ..., r(n-1)(0) \u003d f(n-1)(0) .

1. Svojstva funkcija matrica.

Broj nekretnine 1. Ako matrica ima vlastite vrijednosti (među njima mogu biti i višekratnici), i, tada su vlastite vrijednosti matrice f (A) vlastite vrijednosti polinoma f (x) :.

Dokaz:

Neka karakteristični polinom matrice A ima oblik:

Računajmo. Prijeđimo s jednakosti na odrednice:

Napravimo zamjenu u jednakosti:

Jednakost (*) vrijedi za bilo koji skup f (x), pa zamjenjujemo polinom f (x) sa, dobivamo:

S lijeve strane dobili smo karakteristični polinom za matricu f (A), raščlanjen s desne strane na linearne faktore, što implicira da su vlastite vrijednosti matrice f (A).

CHTD.

Nekretnina broj 2. Neka su matrica i vlastite vrijednosti matrice A, f (x) proizvoljne funkcije definirane na spektru matrice A, tada su vlastite vrijednosti matrice f (A) jednake.

Dokaz:

Jer funkcija f (x) je definirana na spektru matrice A, tada postoji interpolacijski polinom matrice r (x) takav da je, a tada je f (A) \u003d r (A), a matrica r (A ) ima svojstva po svojstvu br. 1 koja su jednaka.

CHTD.

Nekretnina broj 3. Ako su A i B slične matrice, t.j. , a f (x) je proizvoljna funkcija definirana na spektru matrice A, tada

Dokaz:

Jer A i B su slični, tada su njihovi karakteristični polinomi jednaki i njihove vlastite vrijednosti, stoga se vrijednost f (x) na spektru matrice A podudara s vrijednošću funkcije f (x) na spektru matrice B , a postoji interpolacijski polinom r (x) takav da je f (A) \u003d r (A) ,.

CHTD.

Nekretnina broj 4. Ako je A matrica blok-dijagonale, tada

Posljedica: Ako je onda, gdje je f (x) funkcija definirana na spektru matrice A.

1. Lagrange-Sylvesterov interpolacijski polinom.

Slučaj broj 1.

Neka se da. Razmotrimo prvi slučaj: karakteristični polinom ima točno n korijena, među kojima nema višekratnika, t.j. sve vlastite vrijednosti matrice A su različite, t.j. , Sp A je jednostavan. U ovom slučaju konstruiramo osnovne polinome lk (x):

Neka je f (x) funkcija definirana na spektru matrice A i vrijednosti ove funkcije na spektru bit će. Moramo graditi.

Izgradimo:

Imajte na umu da.

Primjer: Konstruiraj Lagrange-Sylvesterov interpolacijski polinom za matricu.

Konstruirajmo osnovne polinome:

Tada za funkciju f (x) definiranu na spektru matrice A dobivamo:

Idemo uzeti, zatim interpolacijski polinom

Slučaj broj 2.

Karakteristični polinom matrice A ima više korijena, ali minimalni polinom ove matrice je djelitelj karakterističnog polinoma i ima samo jednostavne korijene, t.j. ... U ovom se slučaju interpolacijski polinom konstruira na isti način kao u prethodnom slučaju.

Slučaj broj 3.

Razmotrimo opći slučaj. Neka minimalni polinom ima oblik:

gdje je m1 + m2 + ... + ms \u003d m, stupanj r (x)

Sastavimo frakcijsku racionalnu funkciju:

i proširiti ga na najjednostavnije razlomke.

Označavamo :. Pomnožite (*) sa i dobijte

gdje je neka funkcija koja ne ide u beskonačnost.

Ako stavimo (**), dobit ćemo:

Da bi se pronašlo ak3, potrebno je (**) dva puta razlikovati itd. Dakle, koeficijent aki je jedinstveno određen.

Nakon pronalaska svih koeficijenata vratimo se na (*), pomnožimo s m (x) i dobijemo interpolacijski polinom r (x), tj.

Primjer: Pronađite f (A) akogdje je t neki parametar,

Provjerimo je li funkcija definirana na spektru matrice A

Pomnožite (*) sa (x-3)

pri x \u003d 3

Pomnožite (*) sa (x-5)

Tako, - interpolacijski polinom.

Primjer 2.

Ako, a zatim to dokaži

Pronađimo minimalni polinom matrice A:

- karakteristični polinom.

d2 (x) \u003d 1, tada je minimalni polinom

Razmotrimo f (x) \u003d sin x na spektru matrice:

funkcija je specifična za spektar.

Pomnožite (*) sa

.

Pomnožite (*) sa:

Izračunajmo uzimajući izvedenicu (**):

... Pod pretpostavkom,

, tj..

Tako,,

Primjer 3.

Neka je f (x) definirano na spektru matrice čiji minimalni polinom ima oblik... Naći interpolacijski polinom r (x) za funkciju f (x).

Rješenje: Prema uvjetu, f (x) je definiran na spektru matrice A f (1), f(1), f (2), f(2), f (2) utvrđuju se.

Koristimo metodu nedefiniranih koeficijenata:

Ako je f (x) \u003d ln x

f (1) \u003d 0f(1)=1

f (2) \u003d ln 2f(2)=0.5 f(2)=-0.25

4. Jednostavne matrice.

Neka je matrica, budući da je C algebarski zatvoreno polje, tada je xa

Matrična analiza ili matrična metoda široko se koristi u usporednoj procjeni različitih ekonomskih sustava (poduzeća, pojedinačni odjeli poduzeća itd.). Matrična metoda omogućuje vam određivanje integralne procjene svakog poduzeća za nekoliko pokazatelja. Ova ocjena naziva se ocjena poduzeća. Razmotrimo primjenu matrične metode u fazama na konkretnom primjeru.

1. Izbor procijenjenih pokazatelja i formiranje matrice početnih podataka a ij, odnosno tablice, gdje se brojevi sustava (poduzeća) odražavaju u redovima, a brojevi pokazatelja (i \u003d 1,2 ... .n) - u stupcima; (j \u003d 1,2 ... ..n) - pokazatelji. Odabrani pokazatelji trebali bi imati isti fokus (što više, to bolje).

2. Sastavljanje matrice standardiziranih koeficijenata. Svaki stupac određuje maksimalni član, a zatim dijeli sve članove tog stupca s maksimalnim članom. Na temelju rezultata izračuna kreira se matrica standardiziranih koeficijenata.

Odaberite maksimalni element u svakom stupcu.

Predavanja po disciplinama

"Matrična analiza"

za studente 2. godine

specijalnosti Matematičkog fakulteta

"Ekonomska kibernetika"

(predavač Dmitruk Maria Alexandrovna)

Poglavlje 3. Funkcije iz matrica.

1. Definicija funkcije.

Df. Neka bude Je skalarna funkcija argumenta. Potrebno je utvrditi što se podrazumijeva pod f (A), tj. trebate proširiti funkciju f (x) na matričnu vrijednost argumenta.

Rješenje ovog problema poznato je kad je f (x) polinom :, tada.

Definicija f (A) u općem slučaju.

Neka je m (x) minimalni polinom A i ima takvu kanonsku dekompoziciju, , Jesu li vlastite vrijednosti A. Neka polinomi g (x) i h (x) imaju iste vrijednosti.

Neka je g (A) \u003d h (A) (1), tada je polinom d (x) \u003d g (x) -h (x) poništavajući polinom za A, budući da je d (A) \u003d 0, dakle d (x ) je djeljiv linearnim polinomom, tj d (x) \u003d m (x) * q (x) (2).

Tada, tj. (3), , , .

Dogovorimo se nazvati m brojeva za f (x) takve vrijednosti funkcije f (x) na spektru matrice A i označiti skup tih vrijednosti.

Ako je skup f (Sp A) definiran za f (x), tada je funkcija definirana na spektru matrice A.

Iz (3) proizlazi da polinomi h (x) i g (x) imaju iste vrijednosti na spektru matrice A.

Naše je razmišljanje reverzibilno, t.j. iz (3) Þ (3) Þ (1). Dakle, ako je data matrica A, tada je vrijednost polinoma f (x) u potpunosti određena vrijednostima ovog polinoma na spektru matrice A, t.j. svi polinomi g i (x) koji uzimaju iste vrijednosti na spektru matrice imaju iste vrijednosti matrice g i (A). Zahtijevamo da se definicija vrijednosti f (A) u općem slučaju pokorava istom principu.

Vrijednosti funkcije f (x) na spektru matrice A moraju u potpunosti definirati f (A), tj. funkcije koje imaju iste vrijednosti na spektru moraju imati istu vrijednost matrice f (A). Očito je za određivanje f (A) u općenitom slučaju dovoljno pronaći polinom g (x) koji bi na spektru A zauzeo iste vrijednosti kao i funkcija f (A) \u003d g (A).

Df. Ako je f (x) definiran na spektru matrice A, tada je f (A) \u003d g (A), gdje je g (A) polinom koji ima iste vrijednosti na spektru kao f (A),

Df. Vrijednost funkcije matrice A vrijednost je polinoma ove matrice za .

Među polinomima iz C [x], uzimajući iste vrijednosti na spektru matrice A kao f (x), stupnja koji nije veći od (m-1), uzimajući iste vrijednosti na spektru A, kao f (x) je ostatak podjele bilo koji polinom g (x) koji ima iste vrijednosti na spektru matrice A kao f (x) s minimalnim polinomom m (x) \u003d g (x) \u003d m (x) * g (x) + r (x) ...

Taj se polinom r (x) naziva Lagrange-Sylvesterovim interpolacijskim polinomom za funkciju f (x) na spektru matrice A.

Komentar. Ako minimalni polinom m (x) matrice A nema višestrukih korijena, t.j. , tada vrijednost funkcije na spektru.

Nađi r (x) za proizvoljni f (x) ako je matrica

... Konstruirajmo f (H 1). Pronađite minimalni polinom H 1 - posljednji nepromjenjivi faktor:

, d n-1 \u003d x 2; d n-1 \u003d 1;

m x \u003d f n (x) \u003d d n (x) / d n-1 (x) \u003d x n Þ 0 - n je višestruki korijen od m (x), tj. n-puta vlastite vrijednosti H 1.

R (0) \u003d f (0), r '(0) \u003d f' (0), ..., r (n-1) (0) \u003d f (n-1) (0) Þ.

Tri je rješenje igre<=>, kada je rješenje igre, gdje je a bilo koji realan broj, k\u003e 0 POGLAVLJE 2. Igre s nultim zbrojem u čistim strategijama 2.1 Izračun optimalnih strategija na primjeru rješavanja problema Koristeći minimax teorem, možemo tvrditi da svaki antagonistička igra ima optimalne strategije. Teorem: neka A bude matrična igra i redovi danog ...

Slike koje se ne podudaraju kandidati su za izuzeće iz djelokruga korporacije. 5. Razvoj korporativne strategije Prethodna analiza otvorila je put za razvoj strateških koraka za poboljšanje performansi diverzificirane tvrtke. Glavni zaključak o tome što učiniti ovisi o zaključcima koji se odnose na čitav niz aktivnosti u poslu ...