Analīze, matrica. Matricas analīze Matricas stratēģijas izstrādes metode

11.3. Matricas metode stratēģiju izstrādei Organizācijas redzējuma attīstība Dažādi organizāciju ārējās un iekšējās vides stāvokļi izskaidro pašu organizāciju daudzveidību un to faktisko stāvokli.Daudzfaktoriskie parametri, kas nosaka katras pozīcijas

Lekciju gaita pa disciplīnām

"Matricas analīze"

2. kursa studentiem

matemātikas fakultātes specialitātes

"Ekonomiskā kibernētika"

(lektore Marija Aleksandrovna Dmitruka)

1. Funkcijas definīcija.

Df. Ļaujiet būt

Šīs problēmas risinājums ir zināms, ja f (x) ir polinoms:

F (A) definīcija vispārīgā gadījumā.

Ļaujiet m (x) būt minimālajam polinomam A un tam ir tāda kanoniska sadalīšanās

Ļaujiet g (A) \u003d h (A) (1), tad polinoms d (x) \u003d g (x) -h (x) ir A iznīcinošs polinoms, jo d (A) \u003d 0, tāpēc d (x ) dalās ar lineāru polinomu, ti d (x) \u003d m (x) * q (x) (2).

Vienosimies par m skaitļiem šādiem f (x)

Ja f (x) ir definēta kopa f (Sp A), tad funkcija ir definēta matricas A spektrā.

No (3) izriet, ka polinomiem h (x) un g (x) matricas A spektrā ir vienādas vērtības.

Mūsu pamatojums ir atgriezenisks, t.i. no (3) Þ (3) Þ (1). Tādējādi, ja tiek dota matrica A, tad polinoma f (x) vērtību pilnībā nosaka šī polinoma vērtības matricas A spektrā, t.i. visiem polinomiem g i (x), kas matricas spektrā ņem vienādas vērtības, ir vienādas matricas vērtības g i (A). Mēs pieprasām, lai f (A) vērtības definīcija vispārīgi atbilstu tam pašam principam.

Funkcijas f (x) vērtībām matricas A spektrā pilnībā jānosaka f (A), tas ir, funkcijām, kurām spektrā ir vienādas vērtības, jābūt vienādai matricas vērtībai f (A). Acīmredzot, lai noteiktu f (A) vispārīgā gadījumā, pietiek atrast polinomu g (x), kas spektrā A ņemtu tādas pašas vērtības kā funkcija f (A) \u003d g (A).

Df. Ja f (x) ir noteikts matricas A spektrā, tad f (A) \u003d g (A), kur g (A) ir polinoms, kas spektrā ņem tādas pašas vērtības kā f (A),

Df.Matricas А funkcijas vērtība mēs sauksim šīs matricas polinoma vērtību

Starp C [x] polinomiem, kas matricas A spektrā ņem tādas pašas vērtības kā f (x), pakāpes, kas nav augstāka par (m-1), ņemot vērā tās pašas vērtības spektrā A, kā f (x) ir jebkura polinoma g (x) dalījuma atlikums, kam matricas A spektrā ir tādas pašas vērtības kā f (x) ar minimālo polinomu m (x) \u003d g (x) \u003d m ( x) * g (x) + r (x) ...

Šo polinomu r (x) matricas A spektrā dēvē par Lagranža-Silvestera interpolācijas polinomu funkcijai f (x).

Komentēt. Ja matricas A minimālajam polinomam m (x) nav vairāku sakņu, t.i.

Piemērs:

Atrodiet r (x) patvaļīgam f (x), ja matrica

... Konstruēsim f (H 1). Atrodiet minimālo polinomu H 1 - pēdējo nemainīgo faktoru:

d n-1 \u003d x 2; d n-1 \u003d 1;

m x \u003d f n (x) \u003d d n (x) / d n-1 (x) \u003d x nÞ 0 - n ir daudzkārtīga m (x) sakne, t.i. n-reizes raksturīgas H 1 īpašvērtības.

, r (0) \u003d f (0), r ’(0) \u003d f’ (0), ..., r (n-1) (0) \u003d f (n-1) (0)Þ .

2. Matricu funkciju īpašības.

Īpašuma numurs 1. Ja matrica

Pierādījumi:

Ļaujiet matricas A raksturīgajam polinomam būt formai:

Veiksim aizstāšanu vienlīdzībā:

Vienādība (*) ir derīga jebkurai kopai f (x), tāpēc polinomu f (x) aizstājam ar

Kreisajā pusē mēs saņēmām matricai f (A) raksturīgo polinomu, kas pa labi sadalīts lineāros faktoros, kas nozīmē, ka

CHTD.

Īpašuma numurs 2. Ļaujiet matricai

Pierādījumi:

Tā kā funkcija f (x) ir definēta matricas A spektrā, tad matricas r (x) interpolācijas polinoms ir tāds, ka

Lekciju gaita pa disciplīnām

"Matricas analīze"

2. kursa studentiem

matemātikas fakultātes specialitātes

"Ekonomiskā kibernētika"

(lektore Marija Aleksandrovna Dmitruka)

3. nodaļa. Funkcijas no matricām.

1. Funkcijas definīcija.

Df. Lai funkcija būtu skalārs arguments. Nepieciešams noteikt, ko nozīmē f (A), t.i. jums jāpaplašina funkcija f (x) līdz argumenta matricas vērtībai.

Šīs problēmas risinājums ir zināms, kad f (x) ir polinoms :, tad.

F (A) definīcija vispārīgā gadījumā.

Ļaujiet m (x) būt minimālajam polinomam A un tam ir tāda kanoniska noārdīšanās, A. īpašvērtības. Ļaujiet polinomiem g (x) un h (x) iegūt vienādas vērtības.

Ļaujiet g (A) \u003d h (A) (1), tad polinoms d (x) \u003d g (x) -h (x) ir A iznīcinošs polinoms, jo d (A) \u003d 0, tāpēc d (x ) dalās ar lineāru polinomu, t.i. d (x) \u003d m (x) * q (x) (2).

Tad, t.i. (3) ,.

Piekritīsim izsaukt f (x) m numurus šādām funkcijas f (x) vērtībām matricas A spektrā un apzīmēsim šo vērtību kopu.

Ja f (x) ir definēta kopa f (Sp A), tad funkcija ir definēta matricas A spektrā.

No (3) izriet, ka polinomiem h (x) un g (x) matricas A spektrā ir vienādas vērtības.

Mūsu pamatojums ir atgriezenisks, t.i. no (3) (3) (1). Tādējādi, ja tiek dota matrica A, tad polinoma f (x) vērtību pilnībā nosaka šī polinoma vērtības matricas A spektrā, t.i. visiem polinomiem gi (x), kas matricas spektrā ņem vienādas vērtības, ir vienādas matricas vērtības gi (A). Mēs pieprasām, lai f (A) vērtības definīcija vispārīgi atbilstu tam pašam principam.

Funkcijas f (x) vērtībām matricas A spektrā pilnībā jānosaka f (A), tas ir, funkcijām, kurām spektrā ir vienādas vērtības, jābūt vienādai matricas vērtībai f (A). Acīmredzot, lai noteiktu f (A) vispārīgā gadījumā, pietiek atrast polinomu g (x), kas spektrā A ņemtu tādas pašas vērtības kā funkcija f (A) \u003d g (A).

Df. Ja f (x) ir noteikts matricas A spektrā, tad f (A) \u003d g (A), kur g (A) ir polinoms, kas spektrā ņem tādas pašas vērtības kā f (A),

Df. Matricas А funkcijas vērtība šīs matricas polinoma vērtību mēs sauksim par.

Starp C [x] polinomiem, kas matricas A spektrā ņem tādas pašas vērtības kā f (x), pakāpes, kas nav augstāka par (m-1), ņemot vērā tās pašas vērtības spektrā A, kā f (x) ir atlikuma dalījums jebkuram no polinomiem g (x), kam matricas A spektrā ir tādas pašas vērtības kā f (x), ar minimālo polinomu m (x) \u003d g (x) \u003d m (x) * g (x) + r (x).

Šo polinomu r (x) matricas A spektrā dēvē par Lagranža-Silvestera interpolācijas polinomu funkcijai f (x).

Komentēt. Ja matricas A minimālajam polinomam m (x) nav vairāku sakņu, t.i. , tad funkcijas vērtība spektrā.

Piemērs:

Atrodiet r (x) patvaļīgam f (x), ja matrica

... Mēs konstruējam f (H1 ). Atrodiet minimālo polinomu H1 pēdējais nemainīgais faktors:

, dn-1\u003d x2 ; dn-1=1;

mx\u003d fn(x) \u003d dn(x) / dn-1(x) \u003d xn 0 nvairākas saknes m (x), t.i. n-reizes raksturīgās vērtības H1 .

, r (0) \u003d f (0), r(0) \u003d f(0), ..., r(n-1)(0) \u003d f(n-1)(0) .

1. Matricu funkciju īpašības.

Īpašuma numurs 1. Ja matricai ir īpašvērtības (starp tām var būt daudzkārtnes), un tad matricas f (A) īpašvērtības ir polinoma f (x) īpašvērtības:

Pierādījumi:

Ļaujiet matricas A raksturīgajam polinomam būt formai:

Skaitīsim. Pārejam no vienlīdzības uz noteicošajiem faktoriem:

Veiksim aizstāšanu vienlīdzībā:

Vienādība (*) ir derīga jebkuram kopumam f (x), tāpēc mēs aizstājam polinomu f (x) ar:

Kreisajā pusē mēs ieguvām matricai f (A) raksturīgo polinomu, kas pa labi sadalīts lineāros faktoros, no kā izriet, ka matricas f (A) īpašvērtības.

CHTD.

Īpašuma numurs 2. Lai matrica un matricas A, f (x) īpašvērtības būtu patvaļīga funkcija, kas definēta matricas A spektrā, tad matricas f (A) īpašvērtības ir vienādas.

Pierādījumi:

Tā kā funkcija f (x) ir noteikta matricas A spektrā, tad matricas r (x) interpolācijas polinoms ir tāds, ka un pēc tam f (A) \u003d r (A) un matrica r (A ) pēc īpašuma Nr. 1 ir īpašvērtības, kas ir attiecīgi vienādas.

CHTD.

Īpašuma numurs 3. Ja A un B ir līdzīgas matricas, t.i. , un f (x) ir patvaļīga funkcija, kas definēta matricas A spektrā

Pierādījumi:

Tā kā A un B ir līdzīgi, tad to raksturīgie polinomi ir vienādi un to īpašvērtības, tādēļ matricas A spektrā f (x) vērtība sakrīt ar funkcijas f (x) vērtību matricas B spektrā , un pastāv interpolācijas polinoms r (x) tāds, ka f (A) \u003d r (A) ,.

CHTD.

Īpašuma numurs 4. Ja A ir blokdiagonāla matrica, tad

Secinājums: Ja, tad, kur f (x) ir funkcija, kas noteikta matricas A spektrā.

1. Lagranža-Silvestera interpolācijas polinoms.

Lietas numurs 1.

Lai tas tiek dots. Apsveriet pirmo gadījumu: raksturīgajam polinomam ir tieši n saknes, starp kurām nav daudzkārtņu, t.i. visas matricas A īpašvērtības ir atšķirīgas, t.i. , Sp A ir vienkārša. Šajā gadījumā mēs konstruējam pamata polinomus lk (x):

Ļaujiet f (x) būt funkcijai, kas noteikta matricas A spektrā, un šīs funkcijas vērtības spektrā būs. Mums jābūvē.

Veidosim:

Pieraksti to.

Piemērs: Konstruējiet Lagranža-Silvestera interpolācijas polinomu matricai.

Konstruēsim pamata polinomus:

Tad funkcijai f (x), kas definēta matricas A spektrā, mēs iegūstam:

Paņemsim, tad interpolācijas polinoms

Lietas numurs 2.

Matricas A raksturīgajam polinomam ir vairākas saknes, bet šīs matricas minimālais polinoms ir raksturīgā polinoma dalītājs un tam ir tikai vienkāršas saknes, t.i. ... Šajā gadījumā interpolācijas polinomu konstruē tāpat kā iepriekšējā gadījumā.

Lietas numurs 3.

Apsvērsim vispārīgo gadījumu. Ļaujiet minimālajam polinomam būt šādam:

kur m1 + m2 +… + ms \u003d m, deg r (x)

Sastādīsim daļēju racionālu funkciju:

un paplašiniet to vienkāršākajās daļās.

Mēs apzīmējam: Reiziniet (*) ar un iegūstiet

kur ir kāda funkcija, kas nenonāk līdz bezgalībai.

Ja mēs ievietojam (**), mēs saņemam:

Lai atrastu ak3, nepieciešams (**) divreiz diferencēt utt. Tādējādi koeficients aki ir unikāli noteikts.

Pēc visu koeficientu atrašanas mēs atgriežamies pie (*), reizinām ar m (x) un iegūstam interpolācijas polinomu r (x), t.i.

Piemērs: atrodiet f (A), jakur t kāds parametrs,

Pārbaudīsim, vai funkcija ir definēta matricas A spektrā

Reizināt (*) ar (x-3)

pie x \u003d 3

Reizināt (*) ar (x-5)

Tādējādi - interpolācijas polinoms.

2. piemērs.

Ja, tad pierādi to

Atrodīsim matricas A minimālo polinomu:

- raksturīgs polinoms.

d2 (x) \u003d 1, tad minimālais polinoms

Apsveriet f (x) \u003d sin x matricas spektrā:

funkcija ir specifiska spektrā.

Reizināt (*) ar

.

Reizināt (*) ar:

Aprēķināsim, ņemot atvasinājumu (**):

... Pieņemot,

, t.i..

Tātad,,

3. piemērs.

Lai f (x) tiktu noteikts matricas spektrā, kuras minimālajam polinomam ir forma... Atrodiet funkcijas f (x) interpolācijas polinomu r (x).

Risinājums: Pēc nosacījuma f (x) ir noteikts matricas A f (1), f spektrā(1), f (2), f(2), f (2) ir noteikti.

Mēs izmantojam nedefinētu koeficientu metodi:

Ja f (x) \u003d ln x

f (1) \u003d 0f(1)=1

f (2) \u003d ln 2f(2)=0.5 f(2)=-0.25

4. Vienkāršas matricas.

Ļaujiet matricai, jo C ir algebriski slēgts lauks, tad xa

Matricas analīze vai matricas metode tiek plaši izmantota dažādu ekonomisko sistēmu (uzņēmumu, atsevišķu uzņēmumu nodaļu utt.) Salīdzinošajā novērtējumā. Matricas metode ļauj noteikt katra uzņēmuma integrālo novērtējumu vairākiem rādītājiem. Šo vērtējumu sauc par uzņēmuma reitingu. Apsvērsim matricas metodes pielietošanu pakāpeniski, izmantojot konkrētu piemēru.

1. Aprēķināto rādītāju izvēle un sākotnējo datu matricas veidošanās a ij, tas ir, tabulas, kur sistēmu (uzņēmumu) skaits tiek atspoguļots rindās, un rādītāju skaits (i \u003d 1,2… .n) - kolonnās; (j \u003d 1,2… ..n) - rādītāji. Atlasītajiem rādītājiem jābūt vienādiem (jo vairāk, jo labāk).

2. Standartizētu koeficientu matricas sastādīšana. Katra kolonna nosaka maksimālo dalībnieku un pēc tam visus šīs kolonnas dalībniekus dala ar maksimālo dalībnieku. Pamatojoties uz aprēķinu rezultātiem, tiek izveidota standartizētu koeficientu matrica.

Katrā kolonnā atlasiet maksimālo elementu.

Lekciju gaita pa disciplīnām

"Matricas analīze"

2. kursa studentiem

matemātikas fakultātes specialitātes

"Ekonomiskā kibernētika"

(lektore Marija Aleksandrovna Dmitruka)

3. nodaļa. Funkcijas no matricām.

1. Funkcijas definīcija.

Df. Ļaujiet būt Ir skalārā argumenta funkcija. Nepieciešams noteikt, ko nozīmē f (A), t.i. jums jāpaplašina funkcija f (x) līdz argumenta matricas vērtībai.

Šīs problēmas risinājums ir zināms, kad f (x) ir polinoms :, tad.

F (A) definīcija vispārīgā gadījumā.

Ļaujiet m (x) būt minimālajam polinomam A un tam ir tāda kanoniska sadalīšanās, , Vai A. īpašvērtības ir vienādas. Ļaujiet polinomiem g (x) un h (x) iegūt vienādas vērtības.

Ļaujiet g (A) \u003d h (A) (1), tad polinoms d (x) \u003d g (x) -h (x) ir A iznīcinošs polinoms, jo d (A) \u003d 0, tāpēc d (x ) dalās ar lineāru polinomu, ti d (x) \u003d m (x) * q (x) (2).

Tad, t.i. (3), , , .

Piekritīsim izsaukt f (x) m numurus šādām funkcijas f (x) vērtībām matricas A spektrā un apzīmēsim šo vērtību kopu.

Ja f (x) ir definēta kopa f (Sp A), tad funkcija ir definēta matricas A spektrā.

No (3) izriet, ka polinomiem h (x) un g (x) matricas A spektrā ir vienādas vērtības.

Mūsu pamatojums ir atgriezenisks, t.i. no (3) Þ (3) Þ (1). Tādējādi, ja tiek dota matrica A, tad polinoma f (x) vērtību pilnībā nosaka šī polinoma vērtības matricas A spektrā, t.i. visiem polinomiem g i (x), kas matricas spektrā ņem vienādas vērtības, ir vienādas matricas vērtības g i (A). Mēs pieprasām, lai f (A) vērtības definīcija vispārīgi atbilstu tam pašam principam.

Funkcijas f (x) vērtībām matricas A spektrā pilnībā jānosaka f (A), tas ir, funkcijām, kurām spektrā ir vienādas vērtības, jābūt vienādai matricas vērtībai f (A). Acīmredzot, lai noteiktu f (A) vispārīgā gadījumā, pietiek atrast polinomu g (x), kas spektrā A ņemtu tādas pašas vērtības kā funkcija f (A) \u003d g (A).

Df. Ja f (x) ir noteikts matricas A spektrā, tad f (A) \u003d g (A), kur g (A) ir polinoms, kas spektrā ņem tādas pašas vērtības kā f (A),

Df. Matricas A funkcijas vērtība ir šīs matricas polinoma vērtība .

Starp C [x] polinomiem, kas matricas A spektrā ņem tādas pašas vērtības kā f (x), pakāpes, kas nav augstāka par (m-1), ņemot vērā tās pašas vērtības spektrā A, kā f (x) ir jebkura polinoma g (x) dalījuma atlikums, kam matricas A spektrā ir tādas pašas vērtības kā f (x) ar minimālo polinomu m (x) \u003d g (x) \u003d m ( x) * g (x) + r (x) ...

Šo polinomu r (x) matricas A spektrā dēvē par Lagranža-Silvestera interpolācijas polinomu funkcijai f (x).

Komentēt. Ja matricas A minimālajam polinomam m (x) nav vairāku sakņu, t.i. , tad funkcijas vērtība spektrā.

Atrodiet r (x) patvaļīgam f (x), ja matrica

... Konstruēsim f (H 1). Atrodiet minimālo polinomu H 1 - pēdējo nemainīgo faktoru:

d n-1 \u003d x 2; d n-1 \u003d 1;

m x \u003d f n (x) \u003d d n (x) / d n-1 (x) \u003d x n Þ 0 - n ir m (x) vairākkārtēja sakne, t.i. n-reizes raksturīgas H 1 īpašvērtības.

R (0) \u003d f (0), r '(0) \u003d f' (0), ..., r (n-1) (0) \u003d f (n-1) (0) Þ.

Trīs ir spēles risinājums<=>, kad ir spēles risinājums, kur a ir jebkurš reāls skaitlis, k\u003e 0 2. NODAĻA. Nulles summas spēles tīrā stratēģijā 2.1. Optimālo stratēģiju aprēķināšana ar problēmu risināšanas piemēru. Izmantojot minimx teorēmu, mēs varam apgalvot, ka antagonistiskajai spēlei ir optimālas stratēģijas. Teorēma: ļaujiet A būt matricas spēlei un dotās rindas ...

Attēli, kas tam neatbilst, var tikt izslēgti no korporācijas darbības jomas. 5. Korporatīvās stratēģijas izstrāde Iepriekš minētā analīze pavēra ceļu stratēģisku soļu izstrādei, lai uzlabotu diversificēta uzņēmuma darbību. Galvenais secinājums par to, kas jādara, ir atkarīgs no secinājumiem attiecībā uz visu uzņēmējdarbības kopumu ...