Kā atrast kvadrātsakni ar Eiklida metodi. Eiklida algoritms - vislielākā dalītāja atrašana. Indoarābu ciparu sistēma
Izmērs: px
Sāciet rādīt no lapas:
Atšifrējums
1 2. LEKCIJA LIELĀKĀ VISPĀRĒJĀ DALĪTĀJA APRĒĶINS Eiklida algoritms Strādājot ar lieliem saliktiem skaitļiem, to galvenā faktorizācija parasti nav zināma. Bet daudzām pielietotajām skaitļu teorijas problēmām skaitļa faktorēšanas faktoros meklēšana ir svarīga, bieži sastopama praktiska problēma. Skaitļu teorijā ir salīdzinoši ātrs divu skaitļu GCD aprēķināšanas veids, ko sauc par Eiklida algoritmu. Algoritms 1. Eiklida algoritms. Ievade. Veseli skaitļi a, b; 0< b < а. Выход. d = НОД (a,b). 1. Положить r 0 a, r 1 b, i Найти остаток r i+1 от деления r i 1 на r i. 3. Если r i+1 = 0, то положить d r i. В противном случае положить i i + 1 и вернуться на шаг Результат: d. Теорема. Для любых а, b > 0 Eiklida algoritms apstājas, un skaitlis d, ko tas rada, ir lielākais skaitļu a un b kopīgais dalītājs. Pierādījums. Pēc teorēmas par dalīšanu ar atlikumu jebkuram i 1 mums ir r i 1 \u003d q i r i + r i + 1, kur 0 r i + 1< r i. Получаем монотонно убывающую последовательность неотрицательных целых чисел r 1 > r 2\u003e r 3\u003e ... 0, norobežots no apakšas. Šāda secība nevar būt bezgalīga, tāpēc Eiklida algoritms apstājas. Binārais Eiklida algoritms, īstenojot šo, binārs Eiklida algoritms GCD aprēķināšanai izrādās ātrāks
2 algoritmi datorā, jo tas izmanto skaitļu a un b bināro attēlojumu. Binārā Eiklida algoritma pamatā ir šādas vislielākā dalītāja īpašības (mēs pieņemam, ka 0< b а): 1) если оба числа а и b четные, то НОД(a,b) = 2 НОД(a/2, b/2) 2) если число а нечетное, число b четное, то НОД(a, b) = НОД(а, b/2); 3) если оба числа а и b нечетные, а > b, tad GCD (a, b) \u003d GCD (a b, b); 4) ja a \u003d b, tad GCD (a, b) \u003d a. 2. algoritms. Binārais Eiklida algoritms. Ievade. Veseli skaitļi a, b; 0< b а. Выход. d = HOД(a,b). 1. Положить g Пока оба числа а и b четные, выполнять а a/2, b b/2, g 2g до получения хотя бы одного нечетного значения а или b. 3. Положить u a, v b. 4. Пока u 0, выполнять следующие действия Пока u четное, полагать u u/ Пока v четное, полагать v v/ При u v положить u u v. В противном случае положить v v u. 5. Положить d gv. 6. Результат: d. Расширенный алгоритм Евклида Расширенный алгоритм Евклида находит наибольший общий делитель d чисел а и b и его линейное представление, т. е. целые числа x и у, для которых ах + by = d, и не требует «возврата», как в рассмотренном примере. Пусть d НОД для a и b, т. е. d = (a, b), где a > b. Tad ir veseli skaitļi x un y, tādi, ka d \u003d ax + by. Citiem vārdiem sakot, divu skaitļu GCD var attēlot
3 kā lineāra šo skaitļu kombinācija ar veselu skaitļu koeficientiem. 3. algoritms. Paplašinātā Eiklida algoritma shēma. 1. Definējiet \u003d 1, \u003d 0, \u003d 0, \u003d 1, α \u003d a, β \u003d b. 2. Ļaujiet skaitlim q būt skaitļa a dalīšanas ar skaitli b koeficientam un skaitlim r jābūt atlikušajam šo skaitļu dalījumam (ti, a \u003d qb + r). a \u003d b; b \u003d r; t \u003d; // t \u003d x i-1; \u003d t q; // \u003d x i labajai pusei \u003d x i + 1 labajai pusei; // t \u003d y i-1; \u003d t q; 5. Atgriezieties pie soļa. Definējiet x \u003d x 0, y \u003d y 0, d \u003d αx + βy. Paplašinātā Eiklida ieejas algoritma variants. Veseli skaitļi a, b; 0< b а. Выход: d = НОД(а, b); такие целые числа х, у, что ах + by = d. 1. Положить r 0 а, r 1 b, х 0 1, x 1 0, у 0 0, y 1 1, i 1 2. Разделить с остатком r i 1 на r i,: r i 1 = q i r i +r i Если r i+1 = 0, то положить d r i, х x i у y i. В противном случае положить x i+1 x i 1 x i, y i+1 y i 1 y i, i i + 1 и вернуться на шаг Результат: d, х, у. Корректность определения чисел х и у,
4, ko aprēķina algoritms, parāda šāda teorēma. 4. teorēma. Katrā 3. algoritma atkārtojumā ir vienādība ax i + ar i \u003d r i, attiecībā uz i 0. Pierādījums. Izmantosim matemātiskās indukcijas metodi. Ja i \u003d 0 un i \u003d 1, nepieciešamā vienlīdzība atbilst 3. algoritma 1. solim. Pieņemsim, ka tā ir taisnība attiecībā uz i 1 un i. Tad 3. solī iegūstam x i + 1 \u003d x i 1 x i un y i + 1 \u003d y i 1 y i. Tāpēc cirvis i + 1 + ar i + 1 \u003d a (xi 1 xi) + b (yi 1 yi,) \u003d ax i 1 + ar i 1 (ax i + ar i) \u003d ri 1 ri \u003d r i + 1 ... Piemērs. Ņemot vērā a \u003d 1769, b \u003d 551. Izmantojot paplašināto Eiklida algoritmu, atrodiet veselus skaitļus x un y tādus, ka d \u003d ax + by, kur d ir a un b gcd. Aprēķinu secības I posms. 1. Nosakiet \u003d 1, \u003d 0, \u003d 0, \u003d 1, α \u003d 1769, β \u003d koeficients q \u003d a / b \u003d 1769/551 \u003d 3, un atlikušo dalījuma daļu r \u003d 116. a \u003d 551; b \u003d 116; t \u003d \u003d 0: \u003d t q \u003d 1 0 \u003d 1 \u003d 0; \u003d t q \u003d 3; nākamās starpvērtības
5 parametri: a \u003d 551, b \u003d 116, \u003d 0, \u003d 1, \u003d 1, \u003d Tā kā atlikušais dalījums r 0, mēs atgriežamies pie 2. posma aprēķinu secības II posma. 1. Parametru vērtība: a \u003d 551, b \u003d 116, \u003d 0, \u003d 1, \u003d 1, \u003d koeficients q \u003d a / b \u003d 551/116 \u003d 4, un atlikušais dalījums r \u003d 87. a \u003d 116; b \u003d 87; t \u003d \u003d 0; \u003d 1: \u003d t q \u003d \u003d 4 \u003d 3; \u003d t q \u003d 1 (3) 4 \u003d 13; šādas parametru starpvērtības: a \u003d 116, b \u003d 87, \u003d 1, \u003d 4, \u003d 3, \u003d Tā kā atlikušais dalījums r 0, mēs atgriežamies pie 2. soļa. Aprēķinu secības III posms. 1. Parametru vērtība: a \u003d 116, b \u003d 87, \u003d 1, \u003d 4, \u003d 3, \u003d koeficients q \u003d a / b \u003d 116/87 \u003d 1, un atlikušais dalījums r \u003d 29.
6 a \u003d 87; b \u003d 29; t \u003d \u003d 4: \u003d t q \u003d 1 (4) 1 \u003d 5; \u003d 3; \u003d 13; \u003d t q \u003d 3 (13) 1 \u003d 16; šādas parametru starpvērtības: a \u003d 87, b \u003d 29, \u003d 4, \u003d 5, \u003d 13, \u003d Tā kā atlikušais dalījums r 0, mēs atgriežamies pie 2. soļa. Aprēķinu secības IV posms. 1. Parametru vērtība: a \u003d 87, b \u003d 29, \u003d 4, \u003d 5, \u003d 13, \u003d koeficients q \u003d a / b \u003d 87/29 \u003d 3, un atlikusī dalījuma daļa r \u003d 0. a \u003d 87; b \u003d 29; t \u003d \u003d 4; \u003d 5; \u003d 19; \u003d 13; \u003d 16; \u003d t q \u003d 13 (16) 3 \u003d 61; šādas parametru starpvērtības: a \u003d 87, b \u003d 29, \u003d 5, \u003d 19, \u003d 16, \u003d Tā kā atlikušais dalījums r \u003d 0, tad mēs veicam 6. darbību.
7 6. Aprēķiniet GCD pēc formulas d \u003d αx + βy, kur x \u003d x 0 \u003d 5, y \u003d y 0 \u003d 16, α \u003d 1769, β \u003d 551. Aizstājot parametru vērtības, iegūstam d \u003d αx + βy \u003d \u003d \u003d 29 Paplašināto Eiklida algoritmu var realizēt binārā formā. 4. algoritms. Paplašināts binārs Eiklida algoritms. Ievade. Veseli skaitļi a, b; 0< b а. Выход. d = НОД(a, b); такие целые числа х, у, что ах + by = d. 1. Положить g Пока оба числа а и b четные, выполнять а a/2, b b/2, g 2g до получения хотя бы одного нечетного значения а или b. 3. Положить u a, v b, А 1, В 0, С 0, D Пока u 0, выполнять следующие действия Пока u четное, положить u u/ Если оба числа А и B четные, то положить A A/2, B B/2. В противном случае положить A (A+b)/2, B (B a)/ Пока v четное: Положить v v/ Если оба числа С и D четные, то положить С C/2, D D/2. В противном случае положить C (C + b)/2, D (D a)/ При u v положить u u v, А А С, В В D. В противном случае положить v v u, C C A, D D B. 5. Положить d gv, x С, у D. 6. Результат: d, х, у.
Vienādojumu risinājums veselos skaitļos Lineārie vienādojumi. Pārskaitīšanas metodes piemērs. Būrī ir truši un fazāni. Viņiem kopā ir 8 kājas. Uzziniet, cik daudz abu ir būrī. Uzskaitiet visus risinājumus. Lēmums.
7. nodarbība. Skaitli d sauc par lielāko a un b kopīgo dalītāju (GCD), ja seko (1) d a un d b, kā arī (2) visiem x no x a un x b seko x d. Šajā gadījumā mēs rakstām d \u003d (a, b). Lemma 1. Jebkuriem skaitļiem
Temats. Elementāru skaitļu teorijas pamati un pielietojumi - teorētiskais materiāls. Atlikumu kopums modulo, salīdzinājumu īpašības. Lai dabiskais skaitlis būtu lielāks. Mēs apzīmējam ar Z visu klašu kopu
Ugra Fizikas un matemātikas licejs VP Čuvakovs SUMMU TEORIJAS PAMATI Lekciju konspekti (0) (mod) (0) (mod) Dabiskie skaitļi N, - skaitļu skaitlis, ko izmanto skaitīšanai vai skaitīšanai
2. nodaļa. Veseli skaitļi, racionālie un reālie skaitļi 2 .. Veseli skaitļi Skaitļus, 2, 3, ... sauc par dabiskajiem skaitļiem. Visu dabisko skaitļu kopu apzīmē ar N, t.i. N \u003d (, 2,3, ...). Skaitļi ..., 3, 2,0,2,3, ...
Turpinātas frakcijas Galīgas turpinātas frakcijas Definīcija Veidlapas a + + a + a + + a m izteikšana, kur a 0 Z a a m N a m N / () tiek saukta par turpinātu frakciju un m - turpinātas frakcijas garumu a 0 a a m sauc par turpinājuma koeficientiem
1. LEKCIJA DAŽI Skaitļu teorijas elementi Rokasgrāmatā nav izklāstīta skaitļu teorija, bet tiek dots minimālais šīs teorijas rīku komplekts, kas vēlāk būs nepieciešams, lai izpētītu izmantotās kriptogrāfiskās sistēmas
Gorbačovs NAV polinomi vienā mainīgajā Grādu vienādojumu risināšana Polinoma jēdziens Aritmētiskās darbības ar polinomiem Opp Polinoms (polinoms) pakāpes attiecībā pret mainīgo
Veselu skaitļu dalāmība Skaitlis a dalās ar skaitli b (vai b dala a), ja ir skaitlis c tāds, ka a \u003d bc Šajā gadījumā skaitli c sauc par dalījuma koeficientu a ar b Apzīmējums: a - a dalās ar b vai ba b dala
12. LEKCIJA OTRĀ GRĀDAS SALĪDZINĀJUMI VIENKĀRŠAJĀ MODULĪ UN LAUKUMU IEROBEŽOJUMI Otrās pakāpes salīdzināšanas vispārīgā forma vienkāršā modulī p ir (1) ar 0 x 2 + ar 1 x + ar 2 0 mod p. Meklēšanas risinājumu salīdzinājums (1)
Norādījumi, risinājumi, atbildes VIENLĀDĪJUMI INTEGRĀLAJOS NUMUROS. Vienādojums ar vienu nezināmu .. Risinājums. Aizstāsim vienādojumā. Iegūstam vienādību (4a b 4) (a b 8) 0. Vienādība A B 0, kur A un B ir veseli skaitļi, ir
Algebriskie polinomi. 1 n pakāpes algebriskie polinomi laukā K Definīcija 1.1 n pakāpes polinoms n N (0) mainīgajā z skaitļa laukā K ir formas izteiksme: fz \u003d a n z n
Lekcija Kvadrātiskās atliekas un atlikumi Lektors: NY Zolotykh Ieraksts: E Zamaraeva ?? 00. septembris Saturs Kvadrātiskās atliekas un atlikumi Legendre simbols Legendre simbola īpašības Kvadrātiskās savstarpības likums
GOU internātskola "Intelektuālā" "Es sledovat e l s k un y strādāju par biedru par tēmu:" Par pārstāvamību dabiskie skaitļi kā lineāra kombinācija ar veselu skaitļu koeficientiem "
Matemātiskā analīze Sadaļa: Nenoteikts integrāls Tēma: Racionālo frakciju integrācija Lektore Pakhomova E.G. 0 d 5. Racionālo frakciju integrācija DEFINĪCIJA. Tiek saukta racionāla frakcija
4 Skaitļu teorija 4 Veseli skaitļi 7 Definīcija Let, b Z Tad dala b, ja ir vesels skaitlis, kas b (apzīmē ar b) 73 Teorēma (dalījums ar atlikumu) Ja, b Z un b, tad ir tādi veseli skaitļi
Matemātiskā analīze Sadaļa: Nenoteikts integrāls Tēma: Racionālo frakciju integrācija Lektore Rožkova S.V. 0 d 5. Racionālo frakciju integrācija DEFINĪCIJA. Tiek saukta racionāla frakcija
009-00 konts. gadā. 6, 9 kl. Matemātika. Skaitļu teorijas elementi. 4. Lielākā kopējā dalītāja un mazākā kopīgā daudzuma aprēķins Saglabāsim sadaļas apzīmējumu. Dabiskajam skaitlim n rakstiet n
PIEMĒROTĀ ALGEBRA. I daļa: Galīgie lauki (Galois lauki). I 1/67 I daļa Galīgie lauki (Galois lauki). ES PIEMĒROJU ALGEBRU. I daļa: Galīgie lauki (Galois lauki). I 2/67 Atlikumu lauki modulo prime
5 Vienādojumu risināšana veselos skaitļos Risinot pat tādus vienkāršus vienādojumus kā lineārs vienādojums ar vienu nezināmu, ir savas īpatnības, ja vienādojuma koeficienti ir veseli skaitļi, un jums ir nepieciešams
Laboratorijas darbs 8 Vislielākā dalītāja aprēķināšana diviem skaitļiem, izmantojot Eiklida algoritmu. Darba mērķis, izmantojot Eiklida algoritmu, ir izveidot programmu, kas skaitļiem a un b nosaka lielāko
1. sadaļa. Kriptogrāfijas matemātiskie pamati 1 Lauka definīcija Galīgais lauks GF q (vai Galois lauks) ir ierobežots patvaļīgs elementu kopums, starp kuriem tiek dotas saskaitīšanas, reizināšanas darbības.
XIX starpreģionu skolēnu matemātikas un kriptogrāfijas problēmu olimpiāde 11. pakāpes 1. problēmas risinājumam. Vispirms ņemiet vērā, ka, ja N \u003d pq, kur p un q ir pamatskaitļi, tad dabisko skaitļu skaits ir mazāks par
Polinomi un to saknes 2018 Elena Nikolaevna Gushchina Definīcija: nn N pakāpes polinoms ir jebkura formas izpausme: P & z \u003d a & z & + a & +, z & +, + + a, z + a., Kur a & , a & +, a, a. R, a &
4. lekcija. STANDARTA AES. ALGORITMS RIJNDAELS. AES (Advnced Encrypton Stndrd) ir jauns vienas atslēgas šifrēšanas standarts, kas aizstāj DES. Rjndela algoritms (Reinas Dāls)
Polinomi un to saknes Definīcija: n (n N) pakāpes polinoms ir jebkura formas izpausme: P n (z) \u003d anzn + an 1 zn 1 + + a 1 z + a 0, kur an, an 1, a 1, a 0 R, vecākais koeficients, a
1 Eiklida algoritms un tā sarežģītība Definīcija 1. Skaitļu a un b kopīgais dalītājs ir skaitlis c tāds, ka c a un c b. 2. definīcija. Lielākais skaitļu a un b kopīgais dalītājs ir to kopīgais dalītājs,
14. LEKCIJA Kvadrātsakņu aprēķins modulo composite No iepriekš minētās teorijas izriet, ka, ja \u003d, kur ir primāti, grupa Z ir izomorfiska telpai Z Z. Tā kā izomorfisms saglabā īpašības
3. LEKCIJA Kvadrātveida sakņu aprēķins pēc moduļa Vienkārša moduļa gadījums Apsveriet salīdzinājumu х a mod р, (), kur skaitlis р ir pamats, un vesels skaitlis a nav dalāms ar p. Šī vienādojuma x risinājuma aprēķins ir
Kolokvija programma par diskrēto matemātiku (galvenā plūsma) Kolokvija sākumā jūs saņemsiet biļeti, kurā būs trīs jautājumi: jautājums par definīciju zināšanām, problēma, jautājums par pierādījumu zināšanām.
Šora algoritms Y. Lifšits. 005. gada 1. decembris Lekcijas plāns 1. Sagatavošana (a) Skaitļu faktorizācija (b) Kvantu skaitļošana (c) Klasiskās skaitļošanas atdarināšana. Saimona algoritms (a) Kvantu paralēlisms
No matemātikas vēstures Pirmā diezgan apjomīgā grāmata, kurā aritmētika tika pasniegta neatkarīgi no ģeometrijas, bija Nikomoka Ievads aritmētikā (ok ne) Aritmētikas vēsturē tās loma ir salīdzināma ar
Īss ievads pamatskaitļu teorijas pirmsākumos Denisa Kirijenko vasaras datorskola, 2009. gada 1. janvāris Vesels sadalījums Ļaujiet dot divus veselus skaitļus a un b, b. Dalīšanas veselais koeficients
1. – 9. Tēma: Polinomi. Polinomu gredzena uzbūve. Dalāmības teorija. Atvasinājums A. Ya. Ovsjaņņikovs Urālas Federālās universitātes Matemātikas un datorzinātņu institūta algebras un diskrētās nodaļas
Algebriskie vienādojumi, kur Definīcija. Formas 0, P () 0, dažu reālo skaitļu vienādojumu sauc par algebrisko. 0 0 Šajā gadījumā mainīgo sauc par nezināmu, un skaitļus 0 - koeficientus
6. lekcija Skaitļu teorijas elementi 1 Problēma. Turpiniet skaitļu 1, 3, 5, 7, 1, 3, 5, 7, 11 1, 11, 101, 1001, 1, 11, 101, 1001, 1011, 2 veselu skaitļu virkni: Z \u003d (, -2, -1, 0,
Polinomi Polinoms ar vienu n pakāpes mainīgo x ir formas izpausme, kur jebkurus skaitļus sauc par polinoma koeficientiem, un mainīgā vietā sauc par polinoma vadošo koeficientu Ja
1 2 Saturs. 1. Ievads. 4-6 1.1. Anotācija ... 4 1.2. 4. uzdevums 1.3. Darba mērķis 5 1.4. Hipotēze ... 5 1.5. Pētījuma priekšmets ... 5 1.6. Pētījuma objekts. 5 1.7. Jaunums ... 5-6 1.8. Pētījuma metodes
8.3, 8.4.2 klase, Matemātika (mācību grāmata Makarychev) 2018.-2019.mācību gads Moduļa tēma ir "Veseli skaitļi. Skaitļu dalāmība. Vesels skaitlis ”Testā tiek pārbaudīta teorētiskā un praktiskā daļa. TĒMA Zināt
Lekcija Racionālo frakciju integrācija Racionālās frakcijas Vienkāršāko racionālo frakciju integrācija Racionālās frakcijas paplašināšana vienkāršās frakcijās Racionālo frakciju integrācija Racionāla
Www.cryptolymp.ru XIX starpreģionu skolēnu matemātikas un kriptogrāfijas olimpiāde (11. pakāpe) 1. problēmas risinājums. Vispirms ņemiet vērā, ka, ja N pq, kur p un q ir primāri skaitļi, tad dabisko skaitļu skaits
Nodaļas veselu skaitļu dalāmības teorija. Skaitļi ir skaitļi, -3, -, -, 0, 3 veseli skaitļi, 3, 4, kā arī nulle un negatīvie skaitļi -, -, -3, -4. Visu skaitļu kopu apzīmē ar
Krievijas Federācijas Izglītības un zinātnes ministrija Urālas Valsts ekonomikas universitāte Ju B. Meļņikova elektroniskās mācību grāmatas sadaļa, kas pievienota lekcijai Publ. 4., rev. un pievienojiet. e-pasts: [e-pasts aizsargāts],
(trigonometriskās sērijas trigonometriskās sistēmas piemēri - paplašināšanās intervālā [-l; l] patvaļīga perioda funkcijām - nepilnīga sērijas paplašināšana sinusos un kosinusa pāra un nepāra pagarinājumos)
Teorētiskā informātika II Lekcija 5. Integer algoritmi: paplašinātais Eiklida algoritms, inversi modulis, eksponences modulis. Publiskās atslēgas kriptogrāfija, RSA protokols. Varbūtība
5. Bose-Chowdhury-Hawkingham kodi Ciklisko kodu koriģējošās īpašības var noteikt, pamatojoties uz divām teorēmām. 1. teorēma. Jebkuriem m un t pastāv ciklisks kods ar garumu n \u003d 2 m 1 ar daudzkārtību
MODULĀRA ARITMĒTIKA Dažās lietojumprogrammās ir ērti veikt aritmētiskās darbības ar veseliem skaitļiem, kas doti tā dēvētajā modulārajā attēlojumā. Šajā attēlojumā tiek pieņemts, ka vesels skaitlis
MATEMATIKAS LIETOŠANA 00 Korjanovs A.G. Uzdevumi no Brjanskas Lūdzu, nosūtiet savus komentārus un ieteikumus uz: [e-pasts aizsargāts] VIENLĪDZĪBAS UN NEVĪLĪGUMI INTEGRĀLAJOS Skaitļos (no mācību mērķi pirms olimpiādes problēmām) Lineāra
2.22. Izņemiet iekavās kopējo faktoru (n ir dabiskais skaitlis): 1) x n + 3 + x n; 3) z 3n - z n; 2) y n + 2 - y n - 2, n\u003e 2; 4) 5 n + 4 + 2 5 n + 2-3 5 n + 1. 2.23. Katrs numurs tika piešķirts
15. LEKCIJA GALVENIE NUMURI Dabisko skaitli p, kas ir lielāks par vienu, sauc par galveno, ja tas pilnībā dalās tikai ar 1 un pats par sevi. Teorēma (Eiklida). Primu kopums ir bezgalīgs. Mēs apzīmējam ar π (x)
3. tēma. Algebriskās un analītiskās skaitļu teorijas elementi. Teorētiskais materiāls 1. Turpinātās frakcijas. Pēdējā turpināmā daļa ir izteiksme a +, (1), kur a ir vesels skaitlis, a, i\u003e 0, dabiskie skaitļi,
Http://vk.ucoz.et/ Darbības ar polinomiem k a k Polinoms (polinoms) ar grādu k ir formas a funkcija, kur mainīgais a ir skaitliskie koeficienti (\u003d,. K) un. Var ņemt vērā jebkuru nulles skaitli
Penzas Valsts pedagoģiskā universitāte nosaukta V.G.Belinska vārdā M.V.Glebovs V.F.Timerbulatova. PRAKTISKIE Vingrinājumi POLIJAS DALĪBNIEKU ALGEBRĀ. Mācību grāmata Penza
Integru dalāmība ar atlikušām daļām Ļaujiet m būt veselam skaitlim un n dabīgam skaitlim Ja m\u003e n un m nav pilnībā dalāmi ar n, tad m ir iespējams dalīt ar n ar atlikušo daļu 3. definīcija. Jebkuram skaitlim m un jebkuram skaitlim
Avdošins S.M., Saveljeva A.A. Algoritms lineāro vienādojumu sistēmu risināšanai atlikumu gredzenos Tiek izstrādāts efektīvs algoritms lineāro vienādojumu sistēmu risināšanai atlikumu gredzenos, kas pēc sarežģītības ir līdzvērtīgs
PIEMĒROTĀ ALGEBRA. I daļa: Galīgie lauki (Galois lauki) I 1/88 I daļa: Galīgie lauki (Galois lauki) I PIETEICA ALGEBRA. I daļa: Galīgie lauki (Galois lauki) I 2/88 Atlikumu lauki modulo a prime number
5 Algebriskās struktūras 6 Definīcija Binārā darbība kopai S ir S S kartēšana S, tas ir, likums, kas katram sakārtotam elementu pārim no S piešķir noteiktu
/ E Skaitļu teorijas un. rochev 2018. gada 28. augusts Satura rādītājs i 1 Integers 1 1.1 Ievada uzdevumi .................................. ..... 1 1.2 Vislielākais dalītājs ..............................
Nodaļa Veseli, racionāli un reāli skaitļi. Divīzija ar atlikušo daļu. Sadaliet katru skaitli ± 23, ± 4 ar atlikumu ar katru no skaitļiem ± 5. 2. Atrodiet visus pozitīvos dalītājus no 42. 3. Pulkstenis ir 3.
Diferenciālvienādojumu lekcija 4 Vienādojumi kopējos diferenciālos. Integrējošais faktors Lektore Šerstņeva Anna Igorevna 9. Vienādojumi kopējos diferenciālos Vienādojumu d + d \u003d 14 sauc par vienādojumu
Temats. Elementāru skaitļu teorijas un lietojumu pamati. Primitīvas saknes, indeksi. Teorētiskais materiāls Ļaujiet a, m būt dabiskiem koprašu skaitļiem un m, pēc tam saskaņā ar Eulera teorēmu a m)
Matemātikas un informātikas katedra Augstākās matemātikas elementi Izglītības-metodiskais komplekss vidējās profesionālās izglītības skolēniem, kuri mācās, izmantojot tālmācības tehnoloģijas Robežu teorija Sastādījis: asociētais profesors
2. sadaļa. Skaitliski teorētiskās metodes kriptogrāfijā Piešķiršana patstāvīgam darbam Pētīt kriptogrāfijā plaši izmantojamus algoritmus. Skaitļu teorijas elementi: paplašināts Eiklida algoritms;
Tematiskā plāna pamatā ir 206.-207. Mācību gada programmas materiāls saskaņā ar mācību grāmatu "Algebra 8", red. A.G.Mordkovičs, ņemot vērā ieteicamo obligāto obligāto izglītības saturu Tēma
Lekcija 2. Binomiālo koeficientu īpašības. Summu aprēķināšana un funkciju ģenerēšanas metode (galīgais gadījums). Polinoma koeficienti. Novērtējumi binomālajiem un polinomiskajiem koeficientiem. Summas aplēses
Uz apļa viņa parādīja, kā kvadrātveida saknes var iegūt kolonnā. Jūs varat patvaļīgi precīzi aprēķināt sakni, atrast decimāldaļu apzīmējumā jebkuru ciparu skaitu, pat ja tas izrādās iracionāls. Algoritms tika atcerēts, bet jautājumi palika. Nebija skaidrs, no kurienes nāk metode un kāpēc tā dod pareizu rezultātu. Tas nebija grāmatās, vai varbūt es vienkārši meklēju nepareizās grāmatas. Rezultātā, tāpat kā lielu daļu no tā, ko šodien zinu un varu darīt, es to arī izcēlu pats. Es šeit dalos ar savām zināšanām. Starp citu, es joprojām nezinu, kur tiek dots algoritma pamatojums)))
Tātad, vispirms es jums saku ar piemēru “kā darbojas sistēma”, un tad es paskaidroju, kāpēc tā faktiski darbojas.
Paņemsim skaitli (skaitlis tiek ņemts no griestiem, tikko ienāca prātā).
1. Mēs sadalām tā skaitļus pāros: tie, kas atrodas pa kreisi no komata, ir sagrupēti pa diviem no labās uz kreiso pusi, bet pa labi - pa diviem no kreisās uz labo. Mēs saņemam.
2. Kvadrātsakni mēs izvelkam no pirmās ciparu grupas kreisajā pusē - mūsu gadījumā tā ir (ir skaidrs, ka sakni nevar precīzi izvilkt, mēs ņemam skaitli, kura kvadrāts ir pēc iespējas tuvāks mūsu skaitlim, ko veido pirmā ciparu grupa, bet nepārsniedz to). Mūsu gadījumā tas būs skaitlis. Mēs rakstām atbildē - tas ir vissvarīgākais saknes cipars.
3. Mēs palielinām skaitli, kas jau ir atbildē - tas ir - uz kvadrātu un no pirmās skaitļu grupas atņemam no kreisās puses - no skaitļa. Mūsu gadījumā tas paliek.
4. Labajā pusē mēs piešķiram šādu divu skaitļu grupu:. Skaitlis, kas jau ir atbildē, mēs reizinām ar, mēs iegūstam.
5. Tagad uzmanīgi vērojiet. Mums jāpiešķir viens cipars labajā pusē esošajam skaitlim un jāreizina skaitlis ar, tas ir, ar to pašu piešķirto ciparu. Rezultātam jābūt tik tuvu, bet atkal ne vairāk kā šim skaitlim. Mūsu gadījumā tas būs skaitlis, mēs to pierakstām, atbildot blakus, labajā pusē. Šis ir nākamais cipars mūsu decimāldaļā kvadrātsakne.
6. Mēs atņemam produktu no, mēs iegūstam.
7. Tad mēs atkārtojam pazīstamās darbības: mēs piešķiram nākamo ciparu grupu pa labi, reizinām ar iegūto skaitli\u003e mēs piešķiram vienu ciparu pa labi, tā, ka reizinot ar to, mēs saņemam skaitli, kas ir mazāks, bet vistuvāk tam - tas ir cipars - nākamais cipars decimālsakne.
Aprēķini tiks rakstīti šādi:
Un tagad solītais paskaidrojums. Algoritms ir balstīts uz formulu
Komentāri: 51
2 Antons:
Pārāk nekārtīgs un mulsinošs. Sadaliet visu punktos un numurējiet tos. Plus: paskaidrojiet, kur katrā darbībā mēs aizstājam nepieciešamās vērtības. Es nekad iepriekš neesmu izdomājis sakni kolonnā - to bija grūti saprast.
5 Jūlija:
6 :
Jūlija, 23 gadi Šis brīdis rakstīts pa labi, šie ir pirmie divi (pa kreisi) jau saņemtie saknes cipari, kas stāv atbildē. Pēc algoritma mēs reizinām ar 2. Mēs atkārtojam 4. punktā aprakstītās darbības.
7 zzz:
kļūda “6. No 167. atņemam reizinājumu 43 * 3 \u003d 123 (129 nada), iegūstam 38. "
nav skaidrs, kā aiz komata bija 08 ...9 Fedotovs Aleksandrs:
Un pat pirms kalkulatoru laikmetā mums skolā tika mācīts ne tikai izvilkt kvadrātu, bet arī kuba sakni kolonnā, bet tas ir nogurdinošāks un rūpīgāks darbs. Vieglāk bija izmantot Bradisa tabulas vai slaidu kārtulu, kuru mēs mācījāmies jau vidusskolā.
10 :
Aleksandrs, tev taisnība, jūs varat iegūt kolonnā un lielu grādu saknēs. Es rakstīšu par to, kā atrast kuba sakni.
12 Sergejs Valentinovičs:
Mīļā Elizaveta Aleksandrovna! 70. gadu beigās es izstrādāju shēmu automātiskai kvadrātu (t.i., ne atlases) aprēķināšanai. sakne Felix pievienošanas mašīnā. Ja jūs interesē, es varu nosūtīt jums aprakstu.
14 Vlad aus Engelsstadt:
(((Kvadrātsakne)))
Algoritms ir vienkāršots, ja izmantojat 2-skaitļu skaitļu sistēmu, kas tiek pētīta datorzinātnēs, bet noder arī matemātikā. A.N. Kolmogorovs izmantoja šo algoritmu populārās skolēnu lekcijās. Viņa rakstu var atrast "Chebyshev collection" (matemātikas žurnāls, meklējiet saiti uz to internetā)
Par godu teikt:
G. Leibnics savulaik tika nēsāts ar ideju par pāreju no 10. ciparu sistēmas uz bināro, jo tā ir vienkāršība un pieejama iesācējiem ( jaunāko klašu skolēni). Bet iedibinātās tradīcijas to lauzt ir kā cietokšņa vārtu laušana ar pieri: tas ir iespējams, bet tas ir bezjēdzīgi. Tātad izrādās, kā saka bārdainais filozofs, kuru visvairāk citēja vecajos laikos: visu mirušo paaudžu tradīcijas nomāc dzīvo apziņu.Līdz nākamajai reizei.
15 Vlad aus Engelsstadt:
)) Sergejs Valentinovičs, jā, mani interesē ... ((
Varu derēt, ka tā ir Fēliksa variācija no Babilonijas metodes kvadrātveida zirga iegūšanai pēc secīgu aproksimāciju metodes. Šis algoritms tika ignorēts ar Ņūtona metodi (pieskares metodi)
Nez vai kļūdījos prognozēs?
18 :
2Vlad aus Engelsstadt
Jā, binārā algoritmam jābūt vienkāršākam, tas ir diezgan acīmredzami.
Par Ņūtona metodi. Varbūt tā, bet tomēr interesanti
20 Kirils:
Liels paldies. Un algoritma nav, neviens nezina, no kurienes tas radies, bet rezultāts ir pareizs. LIELS PALDIES! Es to ilgi meklēju)
21 Aleksandrs:
Un kā jūs ņemsiet sakni no skaitļa, kur otrā grupa no kreisās uz labo ir ļoti maza? piemēram, ikviena mīļākais numurs ir 4 398 046 511 104. pēc pirmās atņemšanas nav iespējams visu turpināt pēc algoritma. Vai varat, lūdzu, paskaidrot.
22 Aleksejs:
Jā, es zinu šādā veidā. Es atceros, es to izlasīju kāda veca izdevuma grāmatā "Algebra". Tad pēc analoģijas viņš pats secināja, kā kolonnā iegūt kuba sakni. Bet tur jau ir sarežģītāk: katrs cipars vairs netiek noteikts vienā (tāpat kā kvadrātveida), bet divos atņemumos, un pat tur, katru reizi jums jāreizina garie skaitļi.
23 Artems:
Kvadrātveida sakņu ekstrakcijas piemērā no 56789.321 ir drukas kļūdas. Skaitļu 32 grupa divreiz tiek piešķirta skaitļiem 145 un 243, skaitlī 2388025 otrais 8 jāaizstāj ar 3. Tad pēdējais atņemums jāraksta šādi: 2431000 - 2383025 \u003d 47975.
Turklāt, dalot atlikumu ar atbildes dubultoto vērtību (izņemot komatu), mēs iegūstam papildu nozīmīgo ciparu skaitu (47975 / (2 * 238305) \u003d 0.100658819 ...), kas jāpievieno atbildei (√56789.321 \u003d 238.305 ... \u003d 238,305100659).24 Sergejs:
Acīmredzot algoritms nāca no Īzaka Ņūtona grāmatas "Vispārīgā aritmētika vai grāmata par aritmētisko sintēzi un analīzi". Šeit ir fragments no tā:
PAR SAKŅU EKSTRAKCIJU
Lai no skaitļa izvilktu kvadrātsakni, vispirms vispirms jānovieto punkts virs tā skaitļiem, sākot no vienībām. Pēc tam koeficientā vai saknē ierakstiet skaitli, kura kvadrāts ir vienāds ar deficītu vai ir tuvākais skaitļiem vai skaitlim pirms pirmā punkta. Pēc šī kvadrāta atņemšanas saknes atlikušie cipari tiks secīgi atrasti, atlikumu dalot ar divreiz lielāku jau iegūtās saknes daļas vērtību un katru reizi atņemot no pēdējās atrastās cipara kvadrāta atlikuma un tā desmitkārtīgo reizinājumu ar nosaukto dalītāju.
25 Sergejs:
Labojiet arī grāmatas nosaukumu "Vispārīgā aritmētika vai grāmatas par aritmētisko sintēzi un analīzi"
26 Aleksandrs:
Paldies par interesanto materiālu. Bet šī metode man šķiet nedaudz sarežģītāka, nekā tas ir nepieciešams, piemēram, studentam. Es izmantoju vienkāršāku metodi, kuras pamatā ir kvadrātiskās funkcijas paplašināšana, izmantojot pirmos divus atvasinājumus. Tās formula ir šāda:
sqrt (x) \u003d A1 + A2-A3, kur
A1 ir vesels skaitlis, kura kvadrāts ir vistuvāk x;
A2 - frakcija, skaitītājā x-A1, saucējā 2 * A1.
Lielākajai daļai skolas kursā atrasto numuru tas ir pietiekami, lai rezultātu iegūtu līdz tuvākajām simtdaļām.
Ja jums nepieciešams precīzāks rezultāts, ņemiet
A3 - frakcija, skaitītājā A2 kvadrātā, saucējā 2 * A1 + 1.
Protams, lietojumprogrammai ir nepieciešama veselu skaitļu kvadrātu tabula, taču skolā tā nav problēma. Atcerēties šo formulu ir pietiekami viegli.
Tiesa, esmu neizpratnē, ka es empīriski ieguvu A3 eksperimentu rezultātā ar izklājlapu un īsti nesaprotu, kāpēc šis termins izskatās šādi. Vai tu vari man pateikt?27 Aleksandrs:
Jā, es arī apsvēru šos apsvērumus, bet velns ir sīkumos. Tu raksti:
"Tā kā a2 un b jau diezgan maz atšķiras." Jautājums ir tieši par to, cik maz.
Šī formula labi darbojas attiecībā uz skaitļiem otrajā desmitniekā un daudz sliktāk (nevis līdz simtdaļām, tikai līdz desmitdaļām) skaitļiem līdz pirmajiem desmit. Kāpēc tas notiek, jau tagad ir grūti saprast, neiesaistot atvasinājumus.28 Aleksandrs:
Es paskaidrošu, kur es redzu savas piedāvātās formulas priekšrocības. Tas neprasa ne gluži dabisku skaitļu sadalīšanu ciparu pāros, kas, kā rāda pieredze, bieži tiek veikts ar kļūdām. Tās nozīme ir acīmredzama, bet personai, kas pārzina analīzi, tā ir niecīga. Labi darbojas ar skaitļiem 100 līdz 1000, kas ir visizplatītākie skolā.
29 Aleksandrs:
Starp citu, es veicu rakšanu un savā formulā atradu precīzu A3 izteicienu:
A3 \u003d A22 / 2 (A1 + A2)30 Vasil stryzhak:
Mūsdienās, plaši izmantojot skaitļošanu, jautājums par kvadrātveida zirga iegūšanu no skaitļa no praktiskā viedokļa nav tā vērts. Bet matemātikas cienītājiem, protams, interesē dažādas iespējas šīs problēmas risināšanai. Skolas mācību programmā šī aprēķina metodei, nepiesaistot papildu līdzekļus, jānotiek tādā pašā līmenī kā reizināšana un dalīšana kolonnā. Aprēķina algoritms ir ne tikai jāatceras, bet arī saprotams. Klasiskā metode, kas paredzēta šo materiālu pilnībā atbilst iepriekšminētajiem kritērijiem.
Būtisks Aleksandra ierosinātās metodes trūkums ir veselu skaitļu kvadrātu tabulas izmantošana. Kāds ir vairums skolas kursā atrasto skaitļu, autore klusē. Kas attiecas uz formulu, tas kopumā mani pārsteidz, ņemot vērā salīdzinoši augsto aprēķinu precizitāti.31 Aleksandrs:
par 30 vasil stryzhak
Es neko neteicu. Tiek pieņemts, ka kvadrātu tabula ir līdz 1000. Manā skolas laikā to vienkārši iegaumēja un tas bija visās matemātikas mācību grāmatās. Es skaidri nosaucu šo intervālu.
Kas attiecas uz skaitļošanas tehnoloģiju, to galvenokārt neizmanto matemātikas stundās, ja vien nav īpašas tēmas par kalkulatora lietošanu. Kalkulatori tagad ir iebūvēti ierīcēs, kuras aizliegts izmantot eksāmenā.32 Vasil stryzhak:
Aleksandrs, paldies par precizējumu! Es domāju, ka piedāvātajai metodei teorētiski ir jāatceras vai jāizmanto visu divciparu skaitļu kvadrātu tabula. Tad radikāliem skaitļiem, kas nav iekļauti intervālā no 100 līdz 10000, varat izmantot paņēmienu, kā tos palielināt vai samazināt par nepieciešamo lieluma pakāpju skaitu, pārsūtot komatu.
33 Vasil stryzhak:
39 ALEXANDER:
Mana PIRMĀ PROGRAMMA VALODĀ “YAMB” PADOMES MAŠĪNĀ “ISKRA 555” TIKA RAKSTĪTA, lai no skaitļa izvilktu kvadrāta sakni pēc ekstrakcijas algoritma kolonnā! bet tagad es aizmirsu, kā to manuāli izvilkt!
Pirmā izdevuma “Atjautības valstībā” (1908) priekšvārdā EI Ignatjevs raksta: “... garīgo iniciatīvu, atjautību un“ atjautību ”nevienam nevar“ urbt ”vai“ ielikt ”nevienam galvā. Rezultāti ir ticami tikai tad, kad ievads matemātikas zināšanu jomā ir izdarīts viegli un patīkami, par priekšmetiem un ikdienas un ikdienas situāciju piemēriem, kas izvēlēti ar atbilstošu asprātību un uzjautrinājumu.
1911. gada izdevuma “Atmiņas loma matemātikā” priekšvārdā EI. Ignatjevs raksta "... matemātikā vajadzētu atcerēties nevis formulas, bet gan domāšanas procesu".
Lai izvilktu kvadrātsakni, ir divciparu skaitļu kvadrātu tabulas, skaitli var ieskaitīt pirmsākumos un iegūt produkta kvadrātsakni. Kvadrātu tabula bieži nav pietiekama, saknes ieguve ar faktorizāciju ir laikietilpīgs uzdevums, kas arī ne vienmēr noved pie vēlamā rezultāta. Vai izmēģināt 209764 kvadrātsakni? Pamata faktorizācija dod reizinājumu 2 * 2 * 52441. Ar izmēģinājumu un kļūdu palīdzību, atlase - to, protams, var izdarīt, ja esat pārliecināts, ka tas ir vesels skaitlis. Veids, kā es vēlos ieteikt, ir iegūt kvadrātsakni tik un tā.
Reiz institūtā (Permas Valsts pedagoģiskajā institūtā) mēs tikām iepazīstināti ar šo metodi, par kuru es gribu runāt tagad. Es nekad nebrīnījos, vai šai metodei ir pierādījums, tāpēc tagad man pašam bija jāiegūst daži pierādījumi.
Šīs metodes pamatā ir skaitļa sastāvs \u003d.
\u003d &, t.i. & 2 \u003d 596334.
1. Sadaliet skaitli (5963364) pāros no labās uz kreiso (5`96`33`64)
2. Izvelciet pirmās grupas kvadrātsakni kreisajā pusē (- skaitlis 2). Tas dod mums &. Pirmo ciparu.
3. Atrodiet pirmā cipara kvadrātu (2 2 \u003d 4).
4. Atrodiet starpību starp pirmo grupu un pirmā cipara kvadrātu (5-4 \u003d 1).
5. Mēs noņemam nākamos divus skaitļus (mēs saņēmām skaitli 196).
6. Divkāršojot pirmo atrasto ciparu, pierakstiet to pa kreisi aiz līnijas (2 * 2 \u003d 4).
7. Tagad jums jāatrod cipara otrais cipars &: mūsu atrastais divkāršotais pirmais cipars kļūst par skaitļa desmitiem ciparu, reizinot ar skaitļu skaitu, jāiegūst skaitlis, kas ir mazāks par 196 (tas ir cipars 4, 44 * 4 \u003d 176). 4 ir & cipara otrais cipars.
8. Atrodiet atšķirību (196-176 \u003d 20).
9. Mēs nojaucam nākamo grupu (iegūstam numuru 2033).
10. Divkāršojot skaitli 24, mēs iegūstam 48.
11,48 desmitiem skaitlī, reizinot to ar skaitli, mums vajadzētu iegūt skaitli, kas mazāks par 2033 (484 * 4 \u003d 1936). Atrasto vienību cipars (4) ir & trešais cipars.
Pierādījumu sniedzu šādos gadījumos:
1. Izvelciet trīsciparu skaitļa kvadrātsakni;
2. Izvelciet četrciparu skaitļa kvadrātsakni.
Aptuvenās kvadrātsakņu metodes (neizmantojot kalkulatoru).
1. Senie babilonieši izmantoja šādu metodi, lai atrastu aptuveno skaitļa x kvadrātsaknes vērtību. Viņi attēloja skaitli x kā summu a 2 + b, kur a 2 skaitlim x ir vistuvākais dabiskā skaitļa a (a 2? X) kvadrāts, un izmantoja formulu 
. (1)
Izvelciet kvadrātsakni, izmantojot formulu (1), piemēram, no skaitļa 28:
Saknes ekstrakcijas rezultāts no 28, izmantojot MK 5.2915026.
Kā redzat, Babilonijas metode dod labu aptuvenu saknes precīzo vērtību.
2. Īzaks Ņūtons izstrādāja kvadrātsaknes iegūšanas metodi, kas datēta ar Aleksandrijas Heronu (apmēram 100. gadā). Šī metode (pazīstama kā Ņūtona metode) ir šāda.
Ļaujiet būt a 1- pirmā skaitļa aproksimācija (kā 1, jūs varat ņemt dabiskā skaitļa kvadrātsaknes vērtības - precīzu kvadrātu, kas nepārsniedz x).
Nākamais, precīzāks tuvinājums a 2numurus
var atrast pēc formulas 
.
Eiklida algoritms
Lielākais kopīgais dalītājs
Apsveriet šādu problēmu: jums ir jāuzraksta programma, lai noteiktu divu dabisko skaitļu lielāko kopīgo dalītāju (GCD).
Atcerēsimies matemātiku. Divu dabisko skaitļu lielākais kopīgais dalītājs ir lielākais dabiskais skaitlis, ar kuru tie vienmērīgi dalās. Piemēram, skaitļiem 12 un 18 ir kopīgi faktori: 2, 3, 6. Lielākais kopīgais faktors ir 6. Tas ir rakstīts šādi:
GCD (12, 18) \u003d 6.
Sākotnējos datus apzīmēsim kā М u N. Problēmas izklāsts ir šāds:
Ņemot vērā: M, N
Atrast: GCD (M, N).
Šajā gadījumā papildu matemātiskā formalizācija nav nepieciešama. Pats problēmas formulējums ir formāli matemātisks. Nav formulas GCD (M, N) aprēķināšanai no M un N. vērtībām. Bet, no otras puses, diezgan sen, ilgi pirms datoru parādīšanās, bija zināms algoritmisks veids, kā atrisināt šo problēmu. To sauc par eiklida algoritms .
Eiklida algoritma ideja
Šī algoritma ideja ir balstīta uz īpašību, ka, ja M\u003e N, tad
GCD (M, N) \u003d GCD (M - N, N).
Citiem vārdiem sakot, divu dabisko skaitļu GCD ir vienāds ar to pozitīvās starpības (atšķirības moduļa) GCD un mazāku skaitli.
Šo īpašību ir viegli pierādīt. Ļaujiet K būt kopējam dalītājam M u N (M\u003e N). Tas nozīmē, ka M \u003d mK, N \u003d nK, kur m, n ir dabiskie skaitļi, un m\u003e n. Tad M - N \u003d K (m - n), no kā izriet, ka K ir skaitļa M - N. dalītājs. Tādējādi visi skaitļu M un N kopīgie dalītāji ir to starpības M - N dalītāji, ieskaitot lielāko kopīgo dalītāju.
Otrais acīmredzamais īpašums:
GCD (M, M) \u003d M.
"Manuālai" skaitīšanai Eiklida algoritms izskatās šādi:
1) ja skaitļi ir vienādi, ņemiet jebkuru no tiem kā atbildi, pretējā gadījumā turpiniet algoritmu;
2) aizstāt lielāko skaitli ar starpību starp lielāko un mazāko no skaitļiem;
3) atgriezieties pie 1. darbības.
Apsveriet šo algoritmu, izmantojot M \u003d 32, N \u003d 24 piemēru:
Algoritma struktūra ir cilpas ar ligzdotu atzarojumu. Cikls atkārtojas, līdz M un N vērtības nav vienādas ar otru. Ar dakšiņu lielāko no abām vērtībām aizstāj ar to starpību.
Tagad aplūkojiet algoritma izsekošanas tabulu sākotnējām vērtībām M \u003d 32, N \u003d 24.
| Solis | Darbība | M | N | Stāvoklis |
| 1 | ievade M | 32 | ||
| 2 | ievade N | 24 | ||
| 3 | M1 N | 32 ¹ 24, jā | ||
| 4 | M\u003e N | 32\u003e 24, jā | ||
| 5 | M: \u003d M-N | 8 | ||
| 6 | M1 N | 8 ¹ 24, jā | ||
| 7 | M\u003e N | 8\u003e 24, Nr | ||
| 8 | N: \u003d N-M | 16 | ||
| 9 | M1 N | 8 ¹ 16, jā | ||
| 10 | M\u003e N | 8\u003e 16, nr | ||
| 11 | N: \u003d N-M | 8 | ||
| 12 | M1 N | 8 ¹ 8, Nr | ||
| 13 | tapa M | 8 | ||
| 14 | beigas |
Galu galā mēs saņēmām pareizo rezultātu.
Programma AY un Pascal
Uzrakstīsim algoritmu LA un programmu Pascal.
Jautājumi un uzdevumi
1. Datorā palaidiet programmu Evklid. Pārbaudiet to uz M \u003d 32, N \u003d 24; M \u003d 696, N \u003d 234.
2. Uzrakstiet programmu, lai atrastu lielāko trīs skaitļu kopīgo dalītāju, izmantojot šādu formulu:
GCD (A, B, C) \u003d GCD (GCD (A, B), C).
3. Uzrakstiet programmu, lai atrastu vismazāk kopīgo (LCM) no diviem skaitļiem, izmantojot formulu:
A × B \u003d GCD (A, B) × LCM (A, B).
Eiklida algoritms Ir algoritms, lai atrastu veselu skaitļu pāra lielāko kopīgo dalītāju (GCD).
Lielākais kopīgais dalītājs (GCD) Ir skaitlis, kas dala divus skaitļus bez atlikuma un pats dalās bez atlikuma ar jebkuru citu šo divu skaitļu dalītāju. Vienkārši sakot, tas ir lielākais skaitlis, ar kuru ir iespējams pilnībā sadalīt divus skaitļus, kuriem tiek meklēts GCD.
Algoritms GCD atrašanai pēc dalīšanas
- Sadaliet lielāko skaitli ar mazāko.
- Ja tas tiek sadalīts bez atlikuma, tad mazāks skaitlis ir GCD (jums vajadzētu iziet no cikla).
- Ja ir atlikums, lielāko skaitli aizstāj ar atlikušo dalījumu.
- Mēs pārejam uz 1. punktu.
Piemērs:
Atrodiet GCD 30 un 18.
30/18 \u003d 1 (atlikusī 12)
18/12 \u003d 1 (atlikusī 6)
12/6 \u003d 2 (atlikušais 0)
Beigas: GCD ir 6 dalītājs.
GCD (30, 18) \u003d 6
a \u003d 50 b \u003d 130, bet a! \u003d 0 un b! \u003d 0: ja a\u003e b: a \u003d a% b cits: b \u003d b% a druka (a + b)
Cilpā dalījuma atlikums tiek ierakstīts mainīgajā a vai b. Cikls beidzas, kad vismaz viens no mainīgajiem ir vienāds ar nulli. Tas nozīmē, ka otrs satur GCD. Tomēr kuru - mēs nezinām. Tāpēc attiecībā uz GCD mēs atrodam šo mainīgo summu. Tā kā viens no mainīgajiem ir nulle, tas neietekmē rezultātu.
Algoritms GCD atrašanai, atņemot
- No lielākā skaitļa atņemiet mazāko.
- Ja izrādās, ka tas ir 0, tas nozīmē, ka skaitļi ir vienādi viens ar otru un ir GCD (jums vajadzētu iziet no cikla).
- Ja atņemšanas rezultāts nav 0, lielāko skaitli aizstāj ar atņemšanas rezultātu.
- Mēs pārejam uz 1. punktu.
Piemērs:
Atrodiet GCD 30 un 18.
30 - 18 = 12
18 - 12 = 6
12 - 6 = 6
6 - 6 = 0
Beigas: GCD ir atskaitāms vai atņemams.
GCD (30, 18) \u003d 6
a \u003d 50 b \u003d 130, bet a! \u003d b: ja a\u003e b: a \u003d a - b cits: b \u003d b - druka (a)