Zbroj 100 različitih prirodnih brojeva je 5130
Izvor potrage: Odluka 3754. UPORABA 2016. Matematika, I. V. Jaščenko. 30 opcija za tipične ispitne stavke.
Zadatak 19. Na ploči je bilo napisano 20 prirodnih brojeva (ne nužno različitih), od kojih svaki ne prelazi 40. Umjesto nekih brojeva (možda jedan), brojevi na ploči napisani su manje od originala. Brojevi, za koje se tada ispostavilo da su 0, izbrisani su s ploče.
a) Je li moguće da se aritmetička sredina brojeva na ploči povećala?
b) Aritmetička sredina izvorno napisanih brojeva bila je 27. Može li aritmetička sredina brojeva koji su ostali na ploči biti jednaka 34?
c) Aritmetička sredina izvorno napisanih brojeva bila je 27. Nađi najveću moguću vrijednost aritmetičke sredine brojeva koji su ostali na ploči.
Odluka.
i) Da, možda, na primjer, ako uzmete 19 brojeva jednakih 10, a 20 je jednako 1, a nakon smanjenja broja 20 za 1, postaje jednako 0 i prosječna vrijednost više nije 20 brojeva, već 19, tada imamo:
Početna vrijednost :;
Prosječna vrijednost nakon promjene: 
.
Kao što vidite, druga prosječna vrijednost postala je veća od početne.
b) Pretpostavimo da za ispunjenje ovog uvjeta trebate uzeti jedinice, a zatim uzeti brojeve i jedan broj, ukupno 20 brojeva. Njihova aritmetička sredina bit će
,
a nakon brisanja jedinice bi trebale dobiti
,
odnosno imamo sustav jednadžbi:
Oduzimajući drugu od prve jednadžbe, dobivamo:
Dakle, da biste ispunili uvjet iz ovog stavka, morate uzeti djelići broj brojeva, što je nemoguće u okviru ovog zadatka.
Odgovor: Ne.
na) Da biste dobili maksimalan prosjek brojeva koji su preostali na ploči, prvo morate zapisati skup brojeva koji se sastoji od najvećeg broja njih (koji će se tada izbrisati s ploče), a preostali brojevi moraju biti maksimalni. Ovaj uvjet zapisujemo u obrazac
,
gdje je broj jedinica; - 20. broj (odabran je tako da daje prosječno 27). Stoga imamo:
Iz rezultirajućeg izraza vidi se da je minimalna vrijednost pri kojoj dobivamo maksimalnu vrijednost. Dakle, imamo niz brojeva čiji je zbroj
Na ploči je zapisano 100 različitih prirodnih brojeva sa zbrojem 5120.
a) Može li se zapisati broj 230?
b) Može li se bez broja 14?
c) Koji je najmanji broj višekratnika od 14 na ploči?
Odluka.
a) Neka na ploči bude zapisan broj 230 i 99 različitih različitih prirodnih brojeva. Postignut je minimalni mogući zbroj brojeva na ploči, pod uvjetom da je zbroj 99 različitih prirodnih brojeva minimalan. A to je pak moguće ako je 99 različitih prirodnih brojeva aritmetička progresija s prvim članom i razlikom. Zbroj tih brojeva, prema formuli za zbroj aritmetičke progresije, iznosi:
Zbroj svih brojeva na ploči S bit će jednako:
Lako je uočiti da je rezultirajući zbroj veći od 5120, što znači da je bilo koji zbroj od 100 različitih prirodnih brojeva, među kojima ih je 230, veći od 5120, pa prema tome 230 ne može biti na ploči.
b) Pretpostavimo da na ploči nije zapisan broj 14. U ovom slučaju, najmanji mogući iznos S brojevi na ploči sastojat će se od dva zbroja aritmetičkih progresija: zbroja prvih 13 članova napredovanja s prvim članom, razlike (odnosno serije 1,2,3, .. 13) i zbroja prvih 87 članova napredovanja s prvim članom, razlike (odnosno serije 15,16,17, .. 101). Pronađimo ovaj iznos:
Lako je uočiti da je rezultirajući zbroj veći od 5120, što znači da je bilo koji zbroj od 100 različitih prirodnih brojeva, među kojima ih nema 14, veći od 5120, stoga se ne može bez broja 14 na ploči.
c) Pretpostavimo da su svi brojevi od 1 do 100 napisani na ploči. Tada se ispostavlja da je rezultirajući niz aritmetička progresija s prvim članom, razlikom. Formulom za zbroj aritmetičke progresije pronalazimo zbroj svih brojeva na ploči:
Primljeni iznos ne zadovoljava uvjet problema. Sada ćemo, kako bismo zbroj svih brojeva zapisanih na ploči povećali na onaj naznačen u uvjetu, pokušati zamijeniti brojeve koji su višestruki od 14 drugim brojevima koji slijede stotku: 70 će biti zamijenjeno sa 110, 84 - sa 104, a 98 - sa 108. Rezultirajući zbroj S bit će jednako:
Daljnjom zamjenom brojeva koji su višekratnici od 14 brojevima većim od 100, iznos će se povećati i neće odgovarati stanju problema. Dakle, najmanji broj višekratnika od 14 je 4.
Dajmo još jedno rješenje za točku c).
Dajmo primjer, kada se na ploči nalaze četiri broja koja su višestruka od 14 (14, 28, 42, 56):
1, 2, ... , 69, 71, 72, ... , 83, 85, 86, ... , 97, 100, 101, 102, 103, 115.
Dokažimo da ne mogu postojati tri broja koja su višestruka od 14. Da biste uklonili maksimalan broj brojeva koji su višekratnici od 14, nužno je da razlike između novog i starog broja budu minimalne. Odnosno, potrebno je najveće brojeve, višestruke od 14, zamijeniti najmanjim mogućim, većim od stotinu brojeva. Neka broj višekratnika od 14 bude 3. Tada je najmanji zbroj brojeva zapisanih na ploči:
Rezultirajući zbroj veći je od 5120. Daljnjom zamjenom brojeva koji su višekratnici od 14 brojevima većim od 100, iznos će se povećati, što znači da na ploči ne mogu biti manje od četiri broja koji su višekratnici od 14.
A) Ne b) Ne c) 4.
Objavljeno 14.03.2018
5 (100%) 1 glas
Na ploči je zapisano 100 različitih prirodnih brojeva, a poznato je da je zbroj tih brojeva 5120.
a) Može li se na ploči napisati 230?
b) Može li biti da broj 14 nije zapisan na ploči?
c) Koji je najmanji broj višekratnika od 14 na ploči?
Kako riješiti? Poželjno pod svim slovima.
matematika,
obrazovanje
odgovor
dati komentar
favoritima
Tuga
Prije 2 minute
i) Izračunajmo opciju u kojoj će iznos biti najmanji. Prirodno, ovo je samo zbroj prvih stotinu brojeva, tj. 1+2+3…+100
... Možete računati sortiranjem ili možete upotrijebiti formulu " zbrojevi aritmetičke progresije".
Sada izračunavamo iznos. S100 \u003d ((1 + 100) / 2) * 1-00 \u003d 5050;
Moramo nekako pokušati, zamijeniti bilo koji broj u našem redu sa 230 ... Doznajemo koliko nam nedostaje prije zadanog u stanju: 5120-5050=70 , da, i koji je bio najveći broj u našem redu? Pravo, 100 ... Ispada da je najveći broj kojim možemo zamijeniti bilo koji broj iz naše serije 170 ... Dakle, brojevi 230 u redu ne može biti.
Nema odgovora;
b) Uzmi, sve isti red, od 1 do 100, ali uklonite broj odande 14 i pokušajte je zamijeniti drugom. Na primjer, pokušajmo uzeti najmanji broj nakon 100 , naime 101 i mi ćemo ga zamijeniti. Zbroj prvih stotinu brojeva pronašli smo, što znači da za zamjenu trebamo oduzmi od njega 14 i dodaj novu vrijednost 101: 5050-14+101=5137 -. Nažalost, uvjet kaže da je zbroj 5120 , pa avaj, ne možete izuzeti broj 14 s našeg popisa.
Odgovor: b) Ne;
na) Pronađi sve višekratnike 14 iz naše serije ( od 1 do 100). Postoji mnogo načina za pronalaženje višestrukih vrijednosti, ali u našem slučaju broj nije tako velik, mogu se sortirati ručno, a niz dobivamo dodavanjem: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98 . Samo 7 višekratnika od 14... Pokušajmo ih sada zamijeniti s više velike vrijednosti nisu višekratnici od 14jer u ovom trenutku, naša suma je 5050... Zamijenite najveći višestruki s najmanjim neiskorištenim: 98 do 101;
Naš iznos postat će: (101-98)+5050=5053- ;
Iznos: (102-84) + 5053 \u003d 5071-;
Još uvijek ima mjesta, nastavljamo dalje. Zamijenite 70 sa 103;
Iznos: (103-70) + 5071 \u003d 5104-;
5104 , još uvijek manje od 5120, onda krenimo dalje. Zamijenite 56 sa 104;
Iznos: (104-56) + 5104 \u003d 5152-;
Ispalo je više nego što je potrebno, što znači da trebate
Video tečaj "Nabavite A" uključuje sve teme potrebne za uspješno polaganje ispita iz matematike sa 60-65 bodova. Potpuno svi zadaci 1-13 Profilnog jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Također pogodno za polaganje osnovnog ispita iz matematike. Ako želite položiti ispit za 90-100 bodova, prvi dio morate riješiti za 30 minuta i bez grešaka!
Pripremni tečaj za ispit za razrede 10-11, kao i za nastavnike. Sve što vam treba za rješavanje 1. dijela USE-a iz matematike (prvih 12 zadataka) i zadatka 13 (trigonometrija). A ovo je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu i bez njih ne mogu proći ni student od sto bodova ni student humanističkih znanosti.
Sva potrebna teorija. Brza rješenja, zamke i tajne ispita. Analizirani su svi relevantni zadaci iz 1. dijela FIPI banke zadataka. Tečaj u potpunosti ispunjava uvjete Jedinstvenog državnog ispita-2018.
Tečaj sadrži 5 velikih tema, po 2,5 sata. Svaka je tema dana ispočetka, jednostavna i jasna.
Stotine ispitnih zadataka. Problemi s riječima i teorija vjerojatnosti. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta USE zadataka. Stereometrija. Lukava rješenja, korisne varalice, prostorni razvoj mašte. Trigonometrija od nule do problema 13. Razumijevanje umjesto gužvanja. Vizualno objašnjenje složenih pojmova. Algebra. Korijeni, stupnjevi i logaritmi, funkcija i izvedenica. Osnova za rješavanje složenih problema 2. dijela ispita.