100 dažādu dabisko skaitļu summa ir 5130
Kvesta avots: Lēmums 3754. LIETOŠANA 2016. Matemātika, I. V. Jaščenko. 30 iespējas tipiskām testa vienībām.
19. uzdevums. Uz tāfeles bija rakstīti 20 dabiskie skaitļi (ne vienmēr atšķirīgi), no kuriem katrs nepārsniedz 40. Dažu skaitļu (iespējams, viena) vietā uz tāfeles numurus rakstīja mazāk nekā oriģinālu. Skaitļi, kas pēc tam izrādījās 0, tika izdzēsti no tāfeles.
a) Vai varētu būt, ka uz tāfeles skaitļu vidējais aritmētiskais pieaugs?
b) Sākotnēji uzrakstīto skaitļu vidējais aritmētiskais bija 27. Vai uz tāfeles atlikušo skaitļu vidējais aritmētiskais ir vienāds ar 34?
c) Sākotnēji uzrakstīto skaitļu vidējais aritmētiskais bija 27. Atrodiet pēc iespējas lielāku aritmētiskā vidējā vērtību skaitļiem, kas paliek uz tāfeles.
Lēmums.
un) Jā, varbūt, piemēram, ja ņemat 19 skaitļus, kas vienādi ar 10, un 20 ir vienāds ar 1, tad, samazinot 20 skaitli par 1, tas kļūst vienāds ar 0 un vidējā vērtība vairs nav 20 skaitļi, bet gan 19, tad mums ir:
Sākotnējais vidējais :;
Vidējā vērtība pēc izmaiņām: 
.
Kā redzat, otrā vidējā vērtība ir kļuvusi lielāka par sākotnējo.
b) Pieņemsim, ka, lai izpildītu šo nosacījumu, jums jāņem vienības, pēc tam jāņem skaitļi un viens skaitlis, kopā 20 skaitļi. Viņu vidējais aritmētiskais būs
,
un pēc vienību dzēšanas vajadzētu saņemt
,
tas ir, mums ir vienādojumu sistēma:
Atņemot otro no pirmā vienādojuma, mēs iegūstam:
Tādējādi, lai izpildītu šī punkta nosacījumu, jums jāņem daļējs skaitļu skaits, kas šī uzdevuma ietvaros nav iespējams.
Atbilde: Nē.
iekšā) Lai iegūtu maksimālo vidējo skaitli, kas palicis uz tāfeles, vispirms ir jāpieraksta skaitļu kopa, kas sastāv no vislielākā skaita (kas pēc tam tiks izdzēsta no tāfeles), un pārējiem skaitļiem jābūt maksimāliem. Mēs rakstām šo nosacījumu formā
,
kur ir vienību skaits; - 20. numurs (to izvēlas tā, lai iegūtu vidēji 27). Tādējādi mums ir:
No iegūtās izteiksmes var redzēt, ka minimālā vērtība, pie kuras mēs iegūstam maksimālo vērtību. Tādējādi mums ir skaitļu secība, kuras summa ir
Uz tāfeles ir ierakstīti 100 dažādi dabiskie skaitļi ar summu 5120.
a) Vai numuru 230 var uzrakstīt?
b) Vai ir iespējams iztikt bez skaitļa 14?
c) Kāds ir mazākais 14 reizinājumu skaits uz tāfeles?
Lēmums.
a) Ļaujiet uz tāfeles ierakstīt skaitli 230 un 99 dažādus dabiskos skaitļus. Minimālā iespējamā skaitļu summa uz tāfeles tiek sasniegta ar nosacījumu, ka 99 dažādu dabisko skaitļu summa ir minimāla. Tas, savukārt, ir iespējams, ja 99 dažādi dabiskie skaitļi ir aritmētiskā progresija ar pirmo termiņu un starpību. Šo skaitļu summa saskaņā ar aritmētiskās progresijas summas formulu ir:
Visu uz kuģa esošo skaitļu summa S būs vienāds ar:
Ir viegli redzēt, ka iegūtā summa ir lielāka par 5120, kas nozīmē, ka jebkura 100 dažādu dabisko skaitļu summa, starp kurām ir 230, ir lielāka par 5120, tāpēc 230 nevar būt uz kuģa.
b) Pieņemsim, ka uz tāfeles nav rakstīts skaitlis 14. Šajā gadījumā minimālā iespējamā summa S cipari uz tāfeles sastāvēs no divām aritmētisko progresiju summām: progresa pirmo 13 dalībnieku summa ar pirmo dalībnieku, starpība (tas ir, sērija 1,2,3, .. 13) un pirmo 87 progresa dalībnieku summa ar pirmo dalībnieku, starpība (tas ir, sērija 15,16,17, .. 101). Atrodīsim šo summu:
Ir viegli redzēt, ka iegūtā summa ir lielāka par 5120, kas nozīmē, ka jebkura 100 dažādu dabisko skaitļu summa, starp kurām nav 14, ir lielāka par 5120, tāpēc nevar iztikt bez skaitļa 14 uz tāfeles.
c) Pieņemsim, ka uz tāfeles ir uzrakstīti visi skaitļi no 1 līdz 100. Tad izrādās, ka iegūtā virkne ir aritmētiska progresija ar pirmo terminu - starpība. Pēc formulas aritmētiskās progresijas summai mēs atrodam visu uz tāfeles esošo skaitļu summu:
Saņemtā summa neapmierina problēmas nosacījumu. Tagad, lai palielinātu visu uz tāfeles rakstīto skaitļu summu līdz nosacījumā norādītajam, mēs mēģināsim aizstāt skaitļus, kas ir 14 reizinājumi, ar citiem skaitļiem, kas seko simtam: 70 tiks aizstāti ar 110, 84 - ar 104 un 98 - ar 108. Rezultātā iegūtā summa S būs vienāds ar:
Turpmāk aizstājot skaitļus, kas ir 14 reizinājumi, ar skaitļiem, kas lielāki par 100, summa palielināsies un neatbilst problēmas stāvoklim. Tātad mazākais 14 reizinājumu skaits ir 4.
Sniegsim citu c) punkta risinājumu.
Sniegsim piemēru, kad uz tāfeles ir četri skaitļi, kas ir 14 reizinājumi (14, 28, 42, 56):
1, 2, ... , 69, 71, 72, ... , 83, 85, 86, ... , 97, 100, 101, 102, 103, 115.
Pierādīsim, ka nevar būt trīs skaitļi, kas dalās ar 14. Lai noņemtu maksimālo 14 reizinājumu skaitu, ir nepieciešams, lai atšķirības starp jauno un veco skaitli būtu minimālas. Tas ir, ir jāaizstāj lielākie skaitļi, 14 reizinājumi, ar mazāko iespējamo skaitli, kas ir lielāks par simtu skaitļiem. Ļaujiet 14 reizinājumu skaitam būt 3. Tad uz tāfeles uzrakstīto skaitļu minimālā summa ir:
Rezultātā iegūtā summa ir lielāka par 5120. Turpmāk aizstājot skaitļus, kas ir 14 reizinājumi ar skaitļiem, kas lielāki par 100, summa palielināsies, kas nozīmē, ka uz tāfeles nedrīkst būt mazāk par četriem skaitļiem, kas ir 14 reizinājumi.
A) nē b) nav c) 4.
Ievietots 14.03.2018
5 (100%) 1 balss
Uz tāfeles ir ierakstīti 100 dažādi dabiskie skaitļi, un ir zināms, ka šo skaitļu summa ir 5120.
a) Vai uz tāfeles varētu ierakstīt 230?
b) Vai varētu būt tā, ka skaitlis 14 nav uzrakstīts uz tāfeles?
c) Kāds ir mazākais 14 reizinājumu skaits uz tāfeles?
Kā atrisināt? Vēlams zem visām vēstulēm.
matemātika,
izglītība
atbildēt
komentēt
izlasēm
Sadne-ss
Pirms 2 minūtēm
un) Aprēķināsim variantu, kurā summa būs mazākā. Dabiski, ka tā ir tikai pirmo simtu skaitļu summa, t.i. 1+2+3…+100
... Jūs varat skaitīt pēc šķirošanas vai arī varat izmantot formulu " aritmētiskās progresijas summas".
Tagad mēs aprēķinām summu. S100 \u003d ((1 + 100) / 2) * 1-00 \u003d 5050;
Mums kaut kā jāmēģina, aizstāt jebkuru skaitli mūsu rindā ar 230 ... Mēs uzzinām, cik daudz mums trūkst pirms nosacījuma norādītā: 5120-5050=70 , jā, un kāds bija lielākais skaits mūsu rindā? Pareizi, 100 ... Izrādās, ka lielākais skaitlis, ar kuru mēs varam aizstāt jebkuru skaitli no savas sērijas, ir 170 ... Tātad skaitļi 230 rindā tā nevar būt.
Nav atbildes;
b) Paņemiet visu to pašu rindu, no 1 līdz 100, bet noņemiet numuru no turienes 14 un mēģiniet to aizstāt ar citu. Piemēram, mēģināsim ņemt mazāko skaitli pēc 100 , proti 101 un mēs to aizstāsim. Pirmo simtu skaitļu summa mēs atradām, kas nozīmē, ka mums ir nepieciešams nomaiņai no tā atņem 14 un pievienot jaunu vērtību 101: 5050-14+101=5137 -. Diemžēl nosacījums saka, ka summa ir 5120 , tik diemžēl numuru 14 no mūsu saraksta nevar izslēgt.
Atbilde: b) Nē;
iekšā) Atrodiet visus daudzkārtņus 14 no mūsu sērijas ( no 1 līdz 100). Ir daudz veidu, kā atrast vairākas vērtības, taču mūsu gadījumā skaits nav tik liels, tos var kārtot manuāli, mēs iegūstam virkni, pievienojot: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98 . Tikai 7 14 reizinājumi... Tagad mēģināsim tos aizstāt ar vairāk lielās vērtības nav 14 reizinājumijo šobrīd mūsu summa ir 5050... Aizstājiet lielāko daudzkārtni ar mazāko neizmantoto: 98. – 101;
Mūsu summa kļūs: (101-98)+5050=5053- ;
Summa: (102-84) + 5053 \u003d 5071-;
Vieta vēl ir, turpinām. 70 aizstāj ar 103;
Summa: (103-70) + 5071 \u003d 5104-;
5104 , joprojām mazāks par 5120, tad ejam tālāk. Aizstājiet 56 ar 104;
Summa: (104-56) + 5104 \u003d 5152-;
Tas izrādījās vairāk nekā nepieciešams, kas nozīmē, ka jums ir nepieciešams
Video kursā "Iegūstiet A" ir iekļautas visas tēmas, kas nepieciešamas, lai veiksmīgi nokārtotu eksāmenu matemātikā ar 60-65 punktiem. Pilnīgi visi profila vienotā valsts eksāmena matemātikā 1.-13. Piemērots arī matemātikas pamateksāmena nokārtošanai. Ja vēlaties nokārtot eksāmenu par 90-100 punktiem, 1. daļa jāatrisina 30 minūtēs un bez kļūdām!
Sagatavošanās kurss eksāmenam 10.-11.klasei, kā arī skolotājiem. Viss nepieciešamais, lai atrisinātu USE 1. daļu matemātikā (pirmās 12 problēmas) un 13. uzdevumu (trigonometrija). Un tas ir vairāk nekā 70 punkti Vienotajā valsts eksāmenā, un bez tiem nevar iztikt ne simtpunktu, ne humanitāro zinātņu students.
Nepieciešama visa teorija. Ātri eksāmena risinājumi, slazdi un noslēpumi. Visi FIPI uzdevumu bankas 1. daļas uzdevumi ir analizēti. Kurss pilnībā atbilst Vienotā valsts eksāmena-2018 prasībām.
Kursā ir 5 lielas tēmas, katrā 2,5 stundas. Katra tēma ir dota no nulles, vienkārša un skaidra.
Simtiem eksāmenu uzdevumu. Vārdu problēmas un varbūtību teorija. Vienkārši un viegli iegaumējami problēmu risināšanas algoritmi. Ģeometrija. Visu veidu USE uzdevumu teorija, uzziņu materiāls, analīze. Stereometrija. Viltīgi risinājumi, noderīgas krāpšanās lapas, telpiskās iztēles attīstība. Trigonometrija no nulles līdz problēmai 13. Izpratne, nevis saspiestība. Vizuāls sarežģītu jēdzienu skaidrojums. Algebra. Saknes, grādi un logaritmi, funkcija un atvasinājums. Eksāmena 2. daļas sarežģīto problēmu risināšanas pamats.