Řešení modelu predátora. Rovnovážný dravec-oběť. Simulační modelování systému "Predator -ertvas"

Matematické modelování biologických procesů začalo tvorbou prvních jednoduchých modelů ekologického systému.

Předpokládejme, že v nějaké uzavřené oblasti lyry a zajíci žijí. RYYS krmí pouze zajíci a zajíci - zeleninové potraviny dostupné v neomezených množstvích. Je nutné najít makroskopické vlastnosti popisující populace. Takové vlastnosti jsou počet osob v populacích.

Nejjednodušší model vztahu mezi predátorovými populacemi a obětmi založenými na logistické rovnici růstu se nazývá (stejně jako model interspecifické soutěže) jménem jeho tvůrců - podnosů a Volterry. Tento model extrémně zjednodušuje studijní situaci, ale stále užitečná jako výchozí bod v analýze systému dravce-oběti.

Předpokládejme, že (1) Populace oběti existuje v ideálním (samostatném hustotě) životního prostředí, kde její růst může omezit přítomnost dravce, (2) jako ideální prostředí, ve kterém predátor existuje, růst Populace, jehož omezuje pouze hojnost obětí, (3) Oba populace se násobí nepřetržitě podle exponenciální rovnice růstu, (4) Rychlost stravovacích obětí dravců je úměrná četnosti schůzek mezi nimi, což zase , je funkce hustoty obyvatelstva. Tyto předpoklady a podložky modelu zásobníků - Volterra.

Nechť obětová populace roste exponenciálně v nepřítomnosti dravců:

DN / dt \u003d r 1 n 1

kde n je prohlášení, a r, - konkrétní okamžitý tempo růstu oběti oběti. Pokud jsou přítomni dravci, zničí oběti za sazbu, což je stanoveno, nejprve, četnost setkání predátorů a obětí rostoucí se zvýšením jejich počtu, a za druhé účinnosti, s nimiž detektor detekuje a chytí svou oběť Setkání. Počet obětí, se kterými se setkávali a jedli jedním dravcem n s tím, je úměrný účinnosti lovu, které vyjadřujeme prostřednictvím koeficientu C1; Číslo (hustota) oběti n a čas strávené při vyhledávání T:

N c \u003d c 1 nt(1)

Z tohoto výrazu je snadné stanovit specifickou míru spotřeby obětí dravcem (tj. Počet obětí jedených jedním jedincem predátora na jednotku času), který je také často nazýván funkční reakcí dravce Hustota oběti oběti:

V úvazném vzoru S 1.je konstanta. To znamená, že počet obětí zabavených predátory z obyvatelstva je lineárně rostoucí se zvýšením jeho hustoty (tzv. Funkční odezva typu 1). Je zřejmé, že celková rychlost stravování obětí všech jednotlivců dravců bude:

(3)

kde R -počet predátorů. Nyní můžeme spálit rovnici pro růst oběti oběti následujícím způsobem:

V nepřítomnosti oběti jedince dravce hladový a umírající. Předpokládejme také, že v tomto případě bude populace dravce exponenciálně snížit podle rovnice:

(5)

kde r 2. - Zvláštní okamžitá úmrtnost v populaci dravců.

Pokud jsou oběti přítomny, pak jsou to jedinci dravce, kteří je mohou najít a jíst se násobí. Porodnost v populaci dravců v tomto modelu závisí pouze na dvou okolnostech: rychlost spotřeby obětí predátorem a účinností, s nimiž je absorbované potraviny recyklovány dravcem do jeho potomků. Pokud tuto účinnost vyjadřujeme prostřednictvím koeficientu, bude plodnost:

Vzhledem k tomu, že s 1 a S - konstanty je jejich práce také konstantou, kterou označujeme od 2. Rychlost růstu populace dravce bude stanovena rovnováhou plodnosti a úmrtnosti v souladu s rovnicí:

(6)

Rovnice 4 a 6 společně tvoří model zásobníku Volterra.

Vlastnosti tohoto modelu můžeme prozkoumat stejným způsobem jako v případě soutěže, tj. Stavbou fázového diagramu, na kterém je počet obětí odložen podél osy ordinace a predátor je podél osy abscisy a utratí isoblin-line na něm odpovídající konstantnímu počtu obyvatelstva. S pomocí takových isoclinů určují chování interagujícího populace dravce a oběti.

Pro obyvatelstvo oběti: Kde

Vzhledem k tomu, že R, a od 1, - konstanty, isoklinic pro oběť bude linkou, na které se počet dravců (R)je konstantní, tj. Paralelní osa abscisy a protínající se osa obřadů v bodě P \u003d r 1 /C 1. Nad touto čáru se počet obětí sníží a nižší.

Pro populaci dravců:

otevření

InfoFar as. r 2.a ze 2 - konstanty, izoklinic pro dravec bude linkou, na kterém je počet obětí (n) konstantní, tj. Kolmá osa ordinátu a protínající osy abscisy v bodě n \u003d r2 / s 2. Vlevo od něj se počet dravců sníží a napravo - zvýšení.

Zvažujeme-li tyto dva Isocles dohromady, je snadné poznamenat, že interakce populací predátora a oběti je cyklická, protože jejich čísla podléhají neomezeným konjugovaným oscilacím. Je-li velký počet obětí, počet predátorů roste, což vede ke zvýšení tisku dravě k oběti oběti a tím snižuje jeho číslo. Tento pokles vede k nedostatku potravy mezi predátory a poklesem jejich počtu, což způsobuje oslabení predářského tisku a zvýšení počtu obětí, které opět vede ke zvýšení populace oběti atd. .

Tento model se vyznačuje tzv. "Neutrální stabilitou", což znamená, že populace jsou neurčitou spáchány stejného oscilace cyklu, dokud žádný vnější náraz nezmění jejich číslo, po kterém populace vytvářejí nový cyklus oscilací s jinými parametry.. Aby cykly byly stabilní, musí populace po vnějším vlivu snažte se vrátit do počátečního cyklu.Takové cykly, na rozdíl od neutrálně stabilních oscilací v zásobnících volterra, je obvyklé volané. udržitelné mezní cykly.

Model-Volterra je však užitečná v tom, že vám umožní demonstrovat hlavní trend ve vztahu obětování dravců výskyt cyklických konjugovaných oscilací počtu populací.

na smlouvu od ___.___, 20___ o poskytnutí placených vzdělávacích služeb

Ministerstvo školství a vědy Ruská Federace

Lyswensky pobočka

Perm státní technické univerzity

Oddělení Ene.

Kurz práce

pod disciplínou "Simulace systémů"

téma: Predator-oběti systém

Provedeno:

Student c. Biv-06.

------------------

Zkontroloval učitele:

Shestakov A. P.

Lysva, 2010.

abstraktní

Predation - trofické vztahy Mezi organismy, za kterých jeden z nich (dravec) útočí na druhou (obětování) a krmení částí svého těla, to znamená, že akt zabíjení oběti je obvykle přítomen. Predation je proti jíst mrtvoly (nekrofage) a ekologickými produkty jejich rozkladu (dětství).

Další definice dravě je také velmi populární, nabízet dravce, aby zavolali pouze organismy, jíst zvířata, na rozdíl od vegetace, jíst rostliny.

Kromě vícekulárních zvířat, třetí, houby a vyšší rostliny mohou provádět v roli dravců.

Velikost populace dravců ovlivňuje velikost obyvatelstva svých obětí a naopak, dynamika populací je popsána matematickým modelem zásobníku Volterra, nicméně tento model je vysokým stupněm abstrakce a nepopisuje Skutečný vztah mezi dravcem a obětí a může být považován pouze za první stupeň aproximace matematické abstrakce.

V procesu společného evoluce, predátory a oběti se navzájem přizpůsobují. Predorátoři se objevují a rozvíjejí prostředky detekce a útoků a oběti jsou finanční prostředky na opatrnost a ochranu. proto největší postroj Oběti mohou pro ně aplikovat nové dravce, s nimiž se nepřipojili k "zbrojnímu závodu".

Predátory se mohou specializovat na jeden nebo několik typů pro těžbu, je to v průměru úspěšnější v hybu, ale zvyšuje závislost na těchto druhech.

Systém dravce je oběť.

Interakce obětování dravce je hlavním typem vertikálního vztahu mezi organismy, ve kterém jsou látky a energie přenášeny podle potravinových obvodů.

Rovnováha V. X. Studna. Nejvíce snadno dosažený v případě, že existují alespoň tři odkazy v potravinovém řetězci (například trávy - liška - liška). V tomto případě je hustota populace phytophaga regulována vztahem s nižší, tak vrcholem potravinového řetězce.

V závislosti na povaze obětí a typu dravce (pravdivé, pastviny), je možná různá závislost dynamiky jejich obyvatelstva. Současně je obraz komplikován skutečností, že dravci jsou velmi zřídka monofýgy (tj. Krmení v jednom typu oběti). Nejčastěji, když populace jednoho typu oběti a její extrakce vyžaduje příliš mnoho pevnosti, predátory přepíná na jiné typy obětí. Kromě toho jedna populace obětí může využít několika typů dravců.

Z tohoto důvodu je účinek pulzujícího počtu obyvatel obyvatel obyvatelstva často popsán v environmentální literatuře, za které s určitým zpožděním je počet populace predátorů velmi vzácný v přírodě.

Zůstatek mezi predátory a obětmi u zvířat je udržována speciálními mechanismy, které vylučují úplné vyhlazování obětí. Takže oběti mohou:

• utéct od dravce (v tomto případě se mobilita a oběti zvyšují v důsledku soutěže a predátory, což je obzvláště charakteristické pro stepní zvířata, která nemají nikde skrýt před pronásledovatelům);
• získat ochrannou barvu (<притворяться> listy nebo fena) nebo, naopak jasně (například červená) barva, varování dravec o hořké chuti;
• skrýt v přístřešku;
• přechod na opatření aktivní obrany (Horned Herg bylinné, pichlové ryby), často společné (oběti ptáků kolektivně rozlišují Korshu, samci jelena a Saiga<круговую оборону> z vlků atd.).

Predátory mohou jíst býložravě a také slabé predátory. Predátory mají široký energetický spektrum, snadno přepíná z jedné extrakce do druhého, cenově dostupnější. Predátory často útočí na slabé oběti. Environmentální rovnováha je udržována mezi populacemi predátorské oběti. [...]

Pokud je rovnováha nestabilní (bez mezních cyklů) nebo vnějšího cyklu nestabilní, počet obou druhů, zažívá silné oscilace, opouštět souseda rovnováhy. A rychlá degenerace (v první situaci) se vyskytuje při adaptaci s nízkou predátorem, tj. S vysokou úmrtností (ve srovnání s rychlostí reprodukce oběti). To znamená, že slabý dravec ve všech ohledech nepřispívá ke stabilizaci systému a překypuje se. [...]

Tlak predátory je obzvláště silný, když v komoře dravec - oběť rovnováhy se posouvá směrem k dravci a obětování arole zužuje. Konkurenční boj je úzce spjat s nedostatkem potravinových zdrojů, může to být přímý boj, například predátory pro prostor jako zdroj, ale nejčastěji je to jen posunutí vzhledu, což není dost potravin na tomto území , pohled, že stejné množství je dostačující. To je již meziprostorová soutěž. [...]

A nakonec v systému "Predator - oběť" popsaný modelem (2.7), je možné výskyt difúzní nestability (v místní rovnovážné stabilitě) pouze tehdy přirozená úmrtnost Predor se zvyšuje s růstem svého počtu rychleji než lineární funkce a trofická funkce se liší od Volterrovsk nebo, když populace oběti je populace typu Olli. [...]

Teoreticky, v modelech "Jeden dravec - dva oběti" ekvivalentní recese (absence preference pro jeden nebo jiný typ oběti), může ovlivnit konkurenční soužití druhových obětí pouze na těchto místech, kde již existuje potenciálně udržitelná rovnováha. Odrůda se může zvýšit pouze za takových podmínek, kdy druh s mírou míra růstu populace konkurenceschopnosti je vyšší než u dominant. To umožňuje pochopit situaci, kdy jednotné vytáčení vede ke zvýšení druhové rozmanitosti rostlin, kde je větší počet typů, které prošly výběr pro rychlé reprodukce koexistující s druhy, jejichž vývoj je zaměřen na zlepšení konkurenceschopnosti. ...]

Stejným způsobem může volba oběti v závislosti na jeho hustotě vést ke stabilní rovnováze v teoretických modelech dvou konkurenčních druhů oběti, kde neexistovala žádná rovnováha. Predator by pro to musel mít schopnost funkčním a numerickým reakcím na změny hustoty oběti; Je však možné, že přepínání (nepřiměřeně časté útoky na nejvíce hojnější obětování bude mít důležitější význam. Ve skutečnosti bylo zjištěno, že přepínání má stabilizační vliv v systémech "jeden dravec - N obětí" a je jediným mechanismem, který může stabilizovat interakce v případech, kdy výklenky obětí zcela překrývají. Taková role mohou hrát nespecializované dravce. Preference pro více specializovaných predátorů dominantního konkurenta působí stejným způsobem jako přepínání predátorů, a může stabilizovat teoretické interakce v modelech, ve kterých tedy neexistovala žádná rovnováha mezi typy oběti, za předpokladu, že jejich výklenky jsou v určitém rozsahu oddělené. ...]

To také nestabilizuje komunitu a dravec "silný ve všech ohledech", tj. Dobře přizpůsobený této oběti a nízkou relativní úmrtnosti. Současně má systém nestabilní mezní cyklus a navzdory stabilitě rovnovážné polohy, degeneruje v náhodném prostředí (dravec jí oběť a v důsledku toho). Tato situace odpovídá pomalé degeneraci. [...]

Tak, s dobrou adaptací dravce v blízkosti stabilních rovnovážných rovnovážných, mohou nastat nestabilní a stabilní cykly, tj. záleží na počáteční podmínky Systém "predátora-oběť" je buď usilující o rovnováhu, nebo váhavý, opustí ho, nebo v okolí rovnováhy jsou stanoveny udržitelné oscilace počtu obou typů. [...]

Organismy, které jsou považovány za dravce, jsou poháněny jinými organismy, zničí jejich oběť. Mezi živými organismy by tedy mělo být přiděleno další klasifikační systém, a to "dravce" a "oběti". Vztahy mezi těmito organismy byly po celém vývoji života na naší planetě. Predator organismy působí jako přírodní regulátory počtu obětí. Zvýšení počtu "predátorů" vede ke snížení počtu "obětí", zase snižuje zásoby potravin ("oběti") pro "predátory", což obecně diktuje snížení počtu "obětí" atd. Tak, biocenóza neustále vyskytuje výkyvy v počtu predátorů a obětí, obecně, určitá rovnováha je stanovena po určitou dobu v mezích dostatečně udržitelných podmínek životního prostředí. [...]

To nakonec přichází na ekologickou rovnováhu mezi populacemi dravců a obětí. [...]

Pro trofickou funkci třetího typu bude status rovnováhy stabilní, pokud je N je funkcí inflexe funkce (viz obr. 2, b). To vyplývá ze skutečnosti, že na intervalu je trofická funkce konkávní, a proto se relativní podíl dravce oběti zvyšuje. [...]

Nechte gg \u003d -g, tj. Tam je komunita typu "Predator - oběť". V tomto případě je první termín ve výrazu (7.4) nulový a pro provádění stavu stability na pravděpodobnosti rovnovážného stavu n je požadováno a druhý termín není pozitivní. [...]

Pro zváženou komunitu typu dravce může být obětí uzavřena o asymptotickou stabilitu jako celku, pozitivní polohu rovnováhy, tj. Pro všechny počáteční údaje 1CH (0)\u003e 0, vývoj se vyskytuje v takovém způsob, že n (7) - ■ na podmínky, které n\u003e 0. [...]

Takže v homogenním médiu, které nemá útulky pro chov, dravec dřív nebo později zničí obyvatelstvo oběti a poté, co umírá sám sebe. Vlny života "(změny v počtu dravců a obětí) se navzájem následují s neustálým posunem ve fázi a v průměru počtu jako dravec a oběti zůstávají na stejné úrovni. Doba trvání období závisí na tempách růstu obou druhů, tak z počátečních parametrů. Pro obyvatelnost oběti je vliv dravce pozitivní, protože jeho nadměrná reprodukce by vedlo k zhroucení jeho počtu. Veškeré mechanismy, které zabraňují úplným vyhlazováním oběti, přispívají k zachování potravinové základny dravce. [...]

Ostatní úpravy mohou být důsledkem funkcí dravců chování. Počet obětí, které dravec je schopen konzumovat tentokrát, má svůj vlastní limit. Účinek nasycení predátorů při blíží se k tomuto řádku je zobrazen v tabulce. 2-4, V. Interakce popsané rovnicemi 5 a 6 mohou mít stabilní rovnovážné body nebo detekovat cyklické oscilace. Takové cykly se však liší od těch, které se odrážejí v zásobnících rovnicích - Volterra 1 a 2. cykly přenášené rovnicemi 5 a 6 mohou mít trvalou amplitudu a střední hustotu, dokud není životní prostředí konstantní; Po porušení došlo, mohou se vrátit do bývalých amplitudů a středních hustot. Takové cykly, které jsou obnoveny po poruchách, se nazývají rezistentní mezní cykly. Interakce zajíc a lynxu lze považovat za stálý mezní cyklus, ale to není cyklus zásobníků - volterra. [...]

Zvažte výskyt difúzní nestability v systému "Predator -ert dravec" systému ", ale skořápka podmínek, které zajišťují výskyt difúzní nestability v systému (1.1) při n \u003d 2. Je zřejmé, že rovnováha (n, sh) je lokálně (tj. [..].]

Obraťme se na interpretaci případů souvisejících s dlouhodobým koexistencí dravce a oběti. Je zřejmé, že v nepřítomnosti mezních cyklů bude stabilní rovnováha odpovídat v náhodném fluktuačním médiu čísla a jejich amplituda bude úměrná disperzní disperze. Tento fenomén nastane, pokud má dravec vysokou relativní mortalitu a zároveň vysoký stupeň přizpůsobivosti této oběti. [...]

Zvažte, jak se dynamika systému mění s růstem adaptability predátorů, tj. S poklesem komergace od 1 do 0. Pokud je fitness dostatečně nízká, pak se mezní cykly chybí a zůstatek je nestabilní. S rostoucí adaptabilitou v blízkosti této rovnováhy existuje udržitelný cyklus a další vnější nestabilní. V závislosti na počátečních podmínkách (poměr predátorské biomasy a obětí) může systém ztratit stabilitu, tj. Opuštění sousedství rovnováhy nebo budou v něm instalovány udržitelné oscilace. Další růst adaptability činí oscilační povahu chování systému. Nicméně, když b [...]

Příklad negativní (stabilizační) zpětné vazby je vztah mezi dravcem a obětí nebo fungováním systému uhličitanátu uhličitanátu uhličitanátu (roztok systému ve vodě: CO2 + H20 -\u003e H2CO). Typicky je množství oxidu uhličitého rozpuštěného v oceánu vody v částečné rovnováze s koncentrací oxidu uhličitého v atmosféře. Místní zvýšení oxidu uhličitého v atmosféře po sopečných erupcích vedou k intenzifikaci fotosyntézy a absorpcí systému uhličitanového oceánu. S poklesem hladiny oxidu uhličitého v atmosféře uvolňuje systém uhličitanátového systému oceánu systém do atmosféry. Proto je koncentrace oxidu uhličitého v atmosféře poměrně stabilní. [...]

[ ...]

Jako R. Gerlefs Poznámky (1979) existují faktory, které přispívají ke stabilizaci vztahů v systému dravce-oběti: neefektivnost dravce, přítomnost alternativních potravinových zdrojů v dravci, snížení reakce predátorů, jakož i environmentální omezení uložený vnější prostředí na jedné nebo jiné populaci. Interakce mezi populacemi dravce a oběť jsou velmi rozmanité a komplexní. Pokud jsou tedy predátory dostatečně účinné, mohou regulovat hustotu oběti oběti, zatímco drží ji na úrovni střední kapacity. Přes vlivem, který jim poskytl na obyvatele oběti, dravci ovlivňují vývoj různých známek oběti, což nakonec vede k ekologické rovnováze mezi populacemi dravce a obětí. [...]

Pokud je některá z podmínek splněna: 0 1/2. Pokud 6\u003e 1 (KA [...]

Stabilita bioty a životního prostředí závisí pouze na interakci rostlin - autotrofů a rostlinných heterotrofních organismů. Predátory všech velikostí nejsou schopni porušit ekologickou rovnováhu Společenství, protože v přirozených podmínkách nemohou zvýšit jejich počet s konstantním počtem obětí. Predátory nejenže se musí pohybovat, ale také mohou jíst pouze pohybující se zvířata. [...]

Žádné jiné ryby nejsou distribuovány tak široké jako pikes. Na několika místech neexistuje tlak z puků ve stálých nebo tekoucí nádržích, aby zachovaly rovnováhu mezi oběťmi a dravcem, pouze moderní umělé nádrže, ve kterých jsou pikové ryby nežádoucí kvůli zředění jiných ryb, jsou není usaden pro účelně. Na světě jsou výjimečně prezentovány pikové. Jsou chyceni po celé severní) hemisféru ze Spojených států a Kanady Severní Amerika, přes Evropu do severní části Asie. [...]

Další možností udržitelného koexistence zde vzniká v úzkém rozsahu relativně vysoké adaptace. Při přesunu do nestabilního režimu s velmi dobrým "predátorem může dojít k stálému vnějšímu meznímu cyklu, ve kterém je rozptýlení biomasy vyváženo přílivem do systému (vysoká produktivita oběti). Pak se zvědavá situace nastane, když jsou nejpravděpodobnější dvě charakteristické hodnoty amplitudy náhodných oscilací. Některé se vyskytují v blízkosti rovnováhy, ostatní v blízkosti limitu, a více či méně časté přechody mezi těmito režimy jsou možné. [...]

Hypotetické populace, které se chovají podle vektorů na Obr. 10.11 A, znázorněná na Obr. 10.11, - s pomocí grafu ukazující dynamiku poměru počtu dravců a obětí a na Obr. 10.11.5 Ve formě grafu dynamiky počtu dravců a obětí v čase. V oběti oběti, protože se pohybuje z rovnováhy nízké hustoty na rovnováhu s vysokou a vrací zpět, "Flash" je "vypuknutí". A tento vypuknutí čísla není důsledkem stejné výrazné změny životní prostředí. Naopak tato změna v čísle je generována samotným dopadem (s malou úrovní "hluku" v médiu), a to zejména odráží existenci několika rovnovážných stavů. Podobné argumenty mohou být použity k vysvětlení složitějších případů dynamiky počtu v přirozených populacích. [...]

Nejdůležitějším majetkem ekosystému je její stabilita, bilance výměny a procesů vyskytující se v něm. Schopnost populací nebo ekosystému udržovat stálou dynamickou rovnováhu v měnících se středních podmínkách se nazývá homeostáza (homoios je stejná jako; Stasis - stav). Základem homeostázy je princip zpětné vazby. Pro udržení rovnováhy v přírodě není nutné žádné vnější řízení. Příkladem homeostázy je subsystém dravce-oběti, který reguluje hustotu predátorských populací a obětí. [...]

Přírodní ekosystém (biogeocenóza) neustále funguje s konstantní interakcí svých prvků, cyklováním látek, přenosem chemické, energetiky, genetické a jiné energie a informací o řetězcích kanálech. Podle principu rovnováhy, jakýkoli přirozený systém s proudem energie a informací, který prochází, má tendenci rozvíjet udržitelný stát. V tomto případě je stabilita ekosystémů poskytována automaticky z důvodu mechanismu zpětné vazby. Zpětná vazba je použití získaných dat z řízených součástí ekosystémů, aby se řídicí komponenty procesu. "Predator" vztah řeší výše - "Obětování" v této souvislosti může být popsán několika dalšími; Tak, ve vodním ekosystému, dravé ryby (štika v rybníku) jíst jiné typy obětí (Crucian); Pokud se počet křížů zvýší - to je příklad pozitivní zpětné vazby; Štika, krmení s karasou, snižuje jeho číslo je příkladem negativní zpětné vazby; S nárůstem počtu predátorů je počet obětí snížen, a dravec, zažívá nedostatek potravy, snižuje také růst své populace; Nakonec, dynamická rovnováha v číslech a piků je stanovena v úpatí rybníka a Crucia. Rovnováha je neustále udržována, což by vylučovalo zmizení jakéhokoliv trofického řetězového článku (obr. 64). [...]

Pokračujeme nejdůležitější zobecnění, a sice, že negativní interakce v čase se stávají méně patrnými, pokud je ekosystém poměrně stabilní a její prostorová struktura poskytuje možnost vzájemného přizpůsobení populací. V modelových systémech obětování predatorismuJako další členy nejsou popsány do rovnice, pokud nejsou uvedeny další členy do rovnice, charakterizující účinky samo-omezujících čísel, pak se oscilace vyskytují nepřetržitě a nemají fade (viz levtonant, 1969). PIMIMATEL (1968; viz také pimentel a kámen, 1968) experimentálně ukázal, že tyto další členy mohou odrážet vzájemné přizpůsobení nebo genetické zpětná vazba. Když byly nové kultury vytvořeny od jednotlivců, dříve dva roky společně existovalo v kultuře, kde jejich počet byl podroben významným výkyvům, ukázalo se, že jejich ekologická homeostáza byla vyrobena, ve kterém každá z populací byla "potlačena" další rozsahu, že se ukázalo, že je to možné koexistence se stabilnější rovnováhou.

Federální agentura pro vzdělávání

Státní vzdělávací instituce

vyšší odborné vzdělávání

Izhevsk State Technická univerzita

Fakulta "aplikovaná matematika"

Oddělení "Matematické modelování procesů a technologií"

Kurz práce

pod disciplínou "diferenciální rovnice"

Téma: "Kvalitativní studie modelu dravitelského oběti"

Izhevsk 2010.

Úvod

1. Parametry a hlavní rovnice modelu dravce

2.2 Zobecněné modely typu Voltaire-Sacrifice ".

3. Praktická aplikace modelu dravitelského oběti

Závěr

SEZNAM DOPORUČENÍ

Úvod

V současné době jsou environmentální úkoly mimořádné důležité. Důležitým krokem při řešení těchto úkolů je rozvíjet matematické modely environmentálních systémů.

Jednou z hlavních úkolů ekologie moderní scéna Je to studium struktury a fungování přírodních systémů, hledání obecných vzorů. Velký vliv Matematika, přispívající k tvorbě matematické ekologie, zejména jeho sekcí, jako je teorie diferenciálních rovnic, teorie stability a teorie optimálních kontrol.

Jeden z prvních děl v oblasti matematické ekologie byla práce A.d. Zásobníky (1880 - 1949), které poprvé popsaly interakci různých populací, související vztahy Dravec - oběť. V. Volterra (1860 - 1940), V.A. učinil velký příspěvek ke studiu modelu dravce; Kosticin (1883-1963) V současné době se rovnice popisující interakci populací nazývají rovnice zásobníků - Volterra.

Podnosy - Volterra rovnice popisují dynamiku průměrných hodnot populace. V současné době jsou konstruovány více společných modelů interakce mezi populacemi popsanými integrovanými diferenciálními rovnicemi, budou vyšetřovány spravované modely dravce.

Jedním z důležitých problémů matematické ekologie je problém udržitelnosti ekosystému, správu těchto systémů. Management lze provádět za účelem přenosu systému z jednoho udržitelného stavu do druhého, aby bylo možné jej používat nebo obnovit.

1. Parametry a hlavní rovnice modelu dravce

Pokusy matematickým modelováním dynamiky jak individuálních biologických populací a komunit zahrnujících interakční populace různé druhy, byly po dlouhou dobu trvat. Jeden z prvních modelů růstu izolované populace (2.1) byl navržen v roce 1798 Thomas Malthus:

Tento model je nastaven následujícími parametry:

N je počet populací;

Rozdíl mezi úrodností a úmrtnostmi továrny.

Integrace této rovnice Dostaneme:

, (1.2)

kde n (0) je počet populací v čase t \u003d 0. Je zřejmé, že model malthusu na\u003e 0 poskytuje nekonečný nárůst počtu, který není nikdy pozorován v přirozených populacích, kde jsou prostředky, které poskytují tento růst vždy omezené. Změny v populaci zeleninového a živočišného světa nemohou být popsány jednoduchým zákonem malthus, mnoho vzájemně provázaných příčin ovlivňuje dynamiku růstu - zejména reprodukce každého druhu je samoregulovaná a je modifikována tak, aby byl tento druh udržován v procesu evoluce.

Matematický popis těchto vzorců je zapojen do matematické ekologie - vědy o vztazích rostlinných a živočišných organismů a komunit, které je tvořily, a s životním prostředím.

Nejzávažnější studie modelů biologických komunit, včetně několika populací různých druhů, vedla italský matematik vito Volterra:

,

kde - počet obyvatel;

Poměry přirozeného růstu (nebo úmrtnosti) obyvatelstva; - koeficienty interakcí. V závislosti na volbě koeficientů popisuje model boj o sdílené zdroje, nebo interakce typu dravce je oběť, když jeden druh je potravin pro druhého. Jsou-li práce jiných autorů zaměřena na budování různých modelů, V. Volterra provedla hluboké studium postavených modelů biologických komunit. Je to z knihy V. Volterry, podle mnoha vědců, moderní matematická ekologie začala.

2. Kvalitativní studie elementárního modelu "dravce-oběti"

2.1 Model trofické interakce podle typu "DREDATOR-SAVER"

Zvažte model trofické interakce podle typu "Predator-oběti", postavený V. Volterrom. Nechť je systém sestávat ze dvou druhů, z nichž jeden jedí další.

Zvažte případ, kdy jeden z druhů je dravec, a druhý - oběti, a my budeme předpokládat, že dravec je oběť poháněn. Pojďme si vezměme následující jednoduchou hypotézu:

Koeficient tempa růstu;

Poměr růstu dravce;

Obyvatelstva oběti;

Počet populace dravců;

Koeficient přirozeného růstu oběti;

Míra spotřeby obětí dravcem;

Úmrtnost dravidla v nepřítomnosti oběti;

Koeficient "recyklace" dravcem biomasy oběti ve své vlastní biomasě.

Pak bude dynamika obyvatel populace v predátorském systému - obětí popsána systémem diferenciálních rovnic (2.1):

(2.1)

kde jsou všechny koeficienty pozitivní a konstantní.

Model má rovnovážné roztok (2.2):

Podle modelu (2.1) je podíl dravců v celkové hmotnosti zvířat vyjádřen vzorcem (2.3):

(2.3)

Analýza stability rovnovážného stavu s ohledem na malé poruchy ukázaly, že singulární bod (2.2) je "neutrálně" udržitelný (typ "Center"), tj. Všechny odchylky od rovnováhy nejsou vybledlé, ale přeložit systém do oscilace Režim s amplitudou závislou z velikosti poruchy. Trajektora cesty na fázové rovině mají typ uzavřených křivek umístěných v různých vzdálenostech z rovnovážného bodu (obr. 1).

Obr. 1 - fáze "portrét" klasického systému volteruru "dravce-oběť"

Dělení první rovnice systému (2.1) do druhé, získáme diferenciální rovnici (2.4) pro křivku na fázové rovině.

(2.4)

Integrace této rovnice, dostaneme:

(2.5)

kde je integrační konstanta, kde

Je snadné ukázat, že pohyb bodu na fázové rovině se vyskytuje pouze v jednom směru. Chcete-li to provést, je vhodné vyměnit funkce a posunout původ na rovinu na stacionární bod (2.2) a poté zadáním polárních souřadnic:

(2.6)

V tomto případě nahrazení hodnot systému (2.6) do systému (2.1) budeme mít:

(2.7)

Vynásobíte první rovnici a druhý - On a skládání je dostaneme:

Po podobných algebraických transformacích získáme rovnici pro:

Hodnota je patrná z (4.9), vždy nula. Tak znamení se nezmění a otáčení je vše Čas běží jednosměrný.

Integrace (2.9) najdeme období:

Když jsou málo, rovnice (2.8) a (2.9) přeneseny do Ellipse rovnice. Období léčby v tomto případě je:

(2.11)

Na základě četnosti řešení rovnic (2.1) je možné získat některé důsledky. Představte si to (2.1) ve formě:

(2.12)

a integrujte v období:

(2.13)

Vzhledem k tomu, že substituce a v důsledku periodicity jsou aplikovány na nulu, průměr v období se ukazuje na stejné lůžkové stavy (2.14):

(2.14)

Nejjednodušší rovnice modelu dravce-oběti (2.1) mají řadu významných nedostatků. Předpokládají se tedy neomezené potravinářské zdroje pro oběť a neomezený růst dravce, což je v rozporu s experimentálními údaji. Kromě toho, jak lze vidět z Obr. 1, Žádný z fázových křivek je zvýrazněn z hlediska udržitelnosti. Pokud existují i \u200b\u200bmalé rušivé účinky, systémová trajektorie bude i nadále opustit rovnovážnou polohu, amplitudu oscilací k růstu, a systém se rychle zhroutí.

Navzdory nedostatkům modelu (2.1) byly myšlenky o zásadně oscilační povaze dynamiky systému "Predator" rozšířené v ekologii. Interakce "dravitel-obětování" vysvětlil takové jevy jako výkyvy v počtu dravých a mírových zvířat v rybolovných zónách, výkyvy populací ryb, hmyzu atd. Ve skutečnosti mohou být výkyvy čísla způsobena dalšími důvody .

Předpokládejme, že v systémovém dravci - oběti dochází k umělému zničení jednotlivců obou druhů, a zvážit otázku toho, jak zničení jednotlivců ovlivňuje střední hodnoty jejich čísla, pokud se provádí v poměru k tomuto číslu s koeficienty proporcionality a proto pro obětí a dravec. S ohledem na předpoklady provedené systémem rovnic (2.1), přepište ve formě:

(2.15)

Předpokládejme, že to znamená, že koeficient vyhlazování oběti je menší než jeho přirozený růst. V tomto případě budou také pozorovány periodické výkyvy v číslech. Vypočítejte průměrné hodnoty čísel:

(2.16)

Průměrný počet obyvatel obyvatelstva se tak zvyšuje, a dravec snižuje.

Zvažte případ, kdy je koeficient vyhlazování oběti větší než jeho přirozený růst, tj. V tomto případě pro všechny, a v důsledku toho je řešení první rovnice (2,15) omezeno z výše uvedených exponenciálně klesající funkce , jím.

Počínaje určitým bodem v čase t, ve kterém se roztok druhé rovnice (2,15) začne snížit a usilovat o nulu. V případě obou typů tedy zmizí.

2.1 Zobecněné modely typu Voltaire "Dravce-oběti"

První modely V. Volterry, samozřejmě nemohly odrážet všechny strany, aby interagovaly v predátorském systému - oběti, protože byly z velké části zjednodušeny s ohledem na reálné podmínky. Pokud je například počet dravců nulový, pak z rovnic (1.4) vyplývá, že počet obětí se zvyšuje na dobu neurčitou, což není pravda. Hodnota těchto modelů však je to, že oni byli základem, pro kterou se matematická ekologie začala rozvíjet rychlé tempo.

Objevil se velké číslo Výzkum různých modifikací dravého systému - oběti, kde byly postaveny obecnější modely, s přihlédnutím k reálné situaci v přírodě v různých stupních.

V roce 1936 A.n. Kolmogorov navrhl, aby se použil k popisu dynamiky dravce systému - oběti následující systém rovnice:

, (2.17)

kde se snižuje se zvýšením počtu predátorů a zvyšuje se se zvýšením počtu obětí.

Tento systém diferenciálních rovnic díky dostatečné komunitě umožňuje vzít v úvahu skutečné chování populací a zároveň provádět kvalitativní analýzu svých řešení.

Později ve své práci, Kolmogorov zkoumal podrobný menší obecný model:

(2.18)

Různé speciální případy systému diferenciálních rovnic (2.18) byly zkoumány mnoha autory. Tabulka zobrazuje různé speciální případy funkcí ,.

Stůl 1 - Různé modely Společenství "DREDATOR SAILIFICE"

			Autoři
			Volterra Tray.
			Gaune
			Piselu.
			Holing.
			Ivlev.
			Royama
			Shimazu.
			Smět

matematický modelování dravec oběti

3. Praktická aplikace modelu dravitelského oběti

Zvážit matematický model Společná existence dvou biologických druhů (populace) typu "Predator - oběti", nazvaný model Volterra - podnosy.

Nechte dva biologické druhy společně žít v izolovaném médiu. Středa je stacionární a poskytuje neomezený počet všeho, co je nezbytné pro život jeden z druhů, který bude nazýván oběť. Jiný typ je dravec je také ve stacionárních podmínkách, ale pouze se živí jednotlivcům prvního druhu. To může být Karasi a pikes, zajíci a vlci, myši a lišky, mikroby a protilátky atd. Budeme nazýváni jejich obrazy a piků pro jistotu.

Jsou uvedeny následující počáteční ukazatele:

Postupem času se počet značek a hrudek mění, ale protože ryby v rybníku je hodně, nebudeme rozlišovat mezi 1020 Karasem nebo 1021, a proto zvážíme nepřetržité funkce času t. Zavoláme pár čísel (,) stavu modelu.

Je zřejmé, že povaha změny stavu (,) je určena hodnotami parametrů. Změnou parametrů a řešení systému rovnic modelu je možné vyšetřit vzorce změn ve stavu ekologického systému v čase.

V ekosystému bude míra změn v počtu každého druhu také zvážit úměrné svému počtu, ale pouze s koeficientem, který závisí na počtu jednotlivců jiného druhu. Takže pro Karas, tento koeficient se snižuje se zvýšením počtu puků a pro hrudku se zvyšuje s rostoucími Karas. Uvažujeme tuto závislost také lineární. Pak získáváme systém dvou diferenciálních rovnic:

Tento systém rovnic se nazývá model zásobníku Volterra. Numerické koeficienty se nazývají parametry modelu. Je zřejmé, že povaha změny stavu (,) je určena hodnotami parametrů. Změnou těchto parametrů a řešení systému rovnic modelu je možné prozkoumat vzorce změn ve stavu ekologického systému.

Integrujeme oba rovnice systému T, což se změní z počátečního okamžiku, na místo, kde se vyskytují T - období, za které se v ekosystému vyskytují změny. Nechte v našem případě období rovné 1 rok. Pak systém provádí následující formulář:

;

;

Užívání \u003d a \u003d Podáváme podobné pojmy, získáme systém skládající se ze dvou rovnic:

Substituce ve výsledném systému budou počáteční údaje získána populací hrudky a Crucia v jezeře o rok později: