Analýza, matice. Materiál Matrix Analýza MATRIX Development Method

11.3. Metoda matice pro rozvoj strategií Rozvoj zrakových organizací vnějšího a vnitřního prostředí organizací vysvětlují různorodost samotných organizací a jejich skutečný stav. Parametry určující pozici každého

Přednášky na disciplíně

"Analýza matice"

pro studenty II

matematická specialita fakulty

"Ekonomická kybernetika"

(lektor Dmitruk Maria Aleksandrovna)

1. Definování funkce.

Df. Nech být

Řešení tohoto problému je známo, když f (x) je polynomial:

Definice f (a) v obecném případě.

Nechť m (x) být minimální polynomiální a a má takový kanonický rozklad

Nechť g (a) \u003d h (a) (1) být (1), pak polynomiální d (x) \u003d g (x) -h (x) je zrušení polynomu pro A, protože d (a) \u003d 0, Proto D (x) je rozdělen na lineární polynom, tj. D (x) \u003d m (x) * q (x) (2).

Konzistentní m čísla pro f (x)

Pokud je nastavená f (SP A) definována pro F (x), funkce je určena na spektru matice A.

Z (3) vyplývá, že polynomy h (x) a g (x) mají stejné hodnoty na spektru matrice A.

Naše uvažování je reverzibilní, tj. Z (3) þ (3) þ (1). Pokud je tedy specifikována matrice A, je hodnota polynomu f (x) určena hodnotami tohoto polynomu na spektru matrice A, tj. Všechny polynomy g i (x), přijímání stejných hodnot na matrice spektrum mají stejné hodnoty matrice g i (a). Budeme požadovat, aby definice hodnoty f (a) v obecném případě předložila stejnému principu.

Hodnoty funkce f (x) na spektru matrice A by měly být plně stanoveny f (a), tj. Funkce, které mají stejné hodnoty na spektru, by měly mít stejnou hodnotu matice f (a). Je zřejmé, že pro stanovení f (a), obecně postačuje najít polynomiální g (x), což by mělo mít stejné hodnoty na spektru A, stejně jako funkce f (a) \u003d g (A).

Df. Pokud je f (x) definován na spektru matrice A, pak f (a) \u003d g (a), kde g (a) je polynomial, který trvá stejné významy na spektru jako f (a),

Df.Hodnota funkce z matrice A Zavolejme hodnotu polynomu z této matrice, kdy

Mezi polynomy od [X] od [X], přičemž stejné hodnoty na matrice spektrum, as, a f (x), stupeň není vyšší (M-1), který trvá stejné hodnoty na spektru A, a f (x) je rovnováha rozdělení jakékoliv polynomiální g (x) mající stejné hodnoty na spektru matrice, stejně jako f (x), na minimální polynomiální m (x) \u003d g (x) \u003d m (x) * g (x) + r (x).

Tento polynomový r (x) se nazývá interpolační polynom lagrange sylvester pro funkci f (x) na spektru matrice A.

Komentář. Pokud minimální polynomiální m (x) matrice není více kořenů, tj.

Příklad:

Najít r (x) pro libovolné f (x), pokud je matrice

. Budujeme f (h 1). Najdeme minimální polynomi H1 - poslední invariantní násobitel:

, D N - 1 \u003d x 2; D N - 1 \u003d 1;

m x \u003d f n (x) \u003d d n (x) / d n - 1 (x) \u003d x nÞ 0 - n -konatý kořen m (x), tj. N-Multiple EigenValues \u200b\u200bH1.

, R (0) \u003d F (0), R '(0) \u003d f' (0), ..., R (n-1) (0) \u003d F (n - 1) (0)Þ .

2. Vlastnosti funkcí z matric.

Číslo vlastnictví 1. Pokud je matice

Důkaz:

Nechte charakteristický polynom matice a trvá:

V rovnosti nahradíme:

Rovnost (*) platí pro libovolné sady f (x), takže nahradit polynom f (x)

Vlevo jsme obdrželi charakteristický polynom pro matrici f (a), stanovenou napravo na lineární multiplikátoři, odkud to následuje

Nadávat.

Nemovitosti číslo 2. Nechte matici

Důkaz:

Protože Funkce F (x) je definována na spektru matice A, pak je zde interpolační polynomiální matrice R (x) taková

Přednášky na disciplíně

"Analýza matice"

pro studenty II

matematická specialita fakulty

"Ekonomická kybernetika"

(lektor Dmitruk Maria Aleksandrovna)

Kapitola 3. Funkce z matric.

1. Definování funkce.

Df. Nechte funkci skalárního argumentu. Je nutné určit, co porozumět pod f (a), tj. Je nutné rozšířit funkci f (x) na hodnotu matice argumentu.

Řešení tohoto problému je známo, když f (x) polynomial :, pak.

Definice f (a) v obecném případě.

Nechť m (x) je minimální polynomiální a a má takový kanonický rozklad, eigenvalulues A. Nechte polynomy g (x) a h (x) stejné hodnoty.

Nechť g (a) \u003d h (a) (1), pak polynomový d (x) \u003d g (x) -h (x) \u003d g (x) -h (x), anlulování polynomiální pro A, protože d (a) \u003d 0, tedy d (x) je rozdělena na lineární polynom, tj. D (x) \u003d m (x) * q (x) (2).

Pak, tj. (3).

Souhlasíme s čísly pro f (x) tak, aby vyvolali hodnoty funkce f (x) na spektru matice a a soubor těchto hodnot bude označena.

Pokud je nastavená f (SP A) definována pro F (x), funkce je určena na spektru matice A.

Z (3) vyplývá, že polynomy h (x) a g (x) mají stejné hodnoty na spektru matrice A.

Naše uvažování je reverzibilní, tj. Z (3) (3) (1). Pokud je tedy specifikována matrice A, je hodnota polynomu f (x) určena hodnotami tohoto polynomu na spektru matrice A, tj. Všechny polynomy GI (x) přijetí stejných hodnot na matrice spektrum mají stejné hodnoty matrice GI (A). Budeme požadovat, aby definice hodnoty f (a) v obecném případě předložila stejnému principu.

Hodnoty funkce f (x) na spektru matrice A by měly být plně stanoveny f (a), tj. Funkce, které mají stejné hodnoty na spektru, by měly mít stejnou hodnotu matice f (a). Je zřejmé, že pro stanovení f (a), obecně postačuje najít polynomiální g (x), což by mělo mít stejné hodnoty na spektru A, stejně jako funkce f (a) \u003d g (A).

Df. Pokud je f (x) definován na spektru matrice A, pak f (a) \u003d g (a), kde g (a) je polynomial, který trvá stejné významy na spektru jako f (a),

Df. Hodnota funkce z matrice A Zavolejme hodnotu polynomu z této matrice.

Mezi polynomy od [X] přijímání stejných hodnot na matrice spektrum, as, a F (X), stupeň není vyšší (M-1), přičemž stejných hodnot na spektru, stejně jako f (x) je rovnováha jakéhokoliv dělení jakéhokoliv polynomiálního g (x) mající stejné hodnoty na matrice spektrum a, stejně jako f (x), na minimální polynomiální m (x) \u003d g (x) ) \u003d m (x) * g (x) + r (x).

Tento polynomový r (x) se nazývá interpolační polynom lagrange sylvester pro funkci f (x) na spektru matrice A.

Komentář. Pokud minimální polynomiální m (x) matrice není více kořenů, tj. Hodnotu funkce na spektru.

Příklad:

Najít r (x) pro libovolné f (x), pokud je matrice

. Budujeme f (h1 ). Najdeme minimální polynomiální h1 Poslední invariantní násobitel:

, D.n-1\u003d X.2 ; D.n-1=1;

m.x.\u003d F.n.(x) \u003d dn.(xDn-1(x) \u003d xn. 0 N.více kořen m (x), tj. N-více hi-hodnot h1 .

, R (0) \u003d F (0), R(0) \u003d f(0), ..., r(N-1)(0) \u003d f(N-1)(0) .

1. Vlastnosti funkcí z matric.

Číslo vlastnictví 1. Pokud má matrice vlastní hodnota (mohou také zahrnovat vícenásobné), a pak jsou vlastní hodnoty matrice f (a) jsou vlastními hodnotami polynomiálního f (x) :.

Důkaz:

Nechte charakteristický polynom matice a trvá:

Vypočítat. Otočíme se od rovnosti identifikátorů:

V rovnosti nahradíme:

Rovnost (*) platí pro všechny sady f (x), takže budu nahradit polynom f (x), získáme:

Vlevo jsme získali charakteristický polynom pro matrici f (a), stanovenou na lineární faktory, odkud následuje, že vlastní hodnoty matrice f (a).

Nadávat.

Nemovitosti číslo 2. Nechte matici a vlastní hodnoty matrice A, F (X) Funkce definované na spektru matrice A, pak jsou samotné vlastnosti matrice F (a) stejné.

Důkaz:

Protože Funkce F (x) je definována na spektru matrice A, pak existuje interpolační polynom matrice R (x) takové, a pak F (a) \u003d R (A) a matrice R ( a) budou jejich vlastní hodnoty podle čísla nemovitosti 1, které jsou odpovídajícím způsobem stejné.

Nadávat.

Nemovitosti číslo 3. Pokud A a v takových matricích, tj. a f (x) libovolná funkce definovaná na spektru matice a pak

Důkaz:

Protože A a B jsou podobné, jejich charakteristické polynomy jsou stejné a jejich vlastní hodnoty jsou stejné, takže hodnota f (x) na spektru matrice se shoduje s hodnotou funkce f (x) na spektru z matrice, s interpolačním polynomem R (x), takže f (a) \u003d r (a) ,.

Nadávat.

Objekt číslo 4. Je-li blok-diagonální matrice, pak

Následek: Pokud, kde f (x) funkce definovaná na spektru matrice A.

1. Interpolace Polynomial Lagrange Sylvester.

Číslo případu 1.

Nechť je dána. Zvažte první případ: charakteristický polynom má přesně n kořeny, mezi nimiž nejsou žádné více, tj. Všechny vlastní síly matice jsou jiné, tj. , Sp jednoduchý. V tomto případě budujeme základní polynomy LK (X):

Nechť f (x) je funkce definovaná na matrice spektrum A a hodnoty této funkce na spektru budou. Je třeba stavět.

Stavět:

Věnovat pozornost tomu.

Příklad: Vybudujte interpolační polynomiální Lagrange Sylvester pro matrici.

Sestavte základní polynomy:

Pak pro funkci f (x), určené na spektru matice a, dostaneme:

Vzít, pak interpolační polynomiální

Případ číslo 2.

Charakteristický polynomiální matrice A má více kořenů, ale minimální polynom této matrice je děličem charakteristického polynomu a má pouze jednoduché kořeny, tj. . V tomto případě je interpolační polynomal postaven jako v předchozím případě.

Případ číslo 3.

Zvážit obecný případ. Nechte minimální polynomiální vypadat jako:

kde m1 + m2 + ... + ms \u003d m, deg r (x)

Udělejme frakční racionální funkci:

a položit ho na nejjednodušší frakci.

Označeno :. Vynásobte (*) a získejte

kde se nějaká funkce, která se nevztahuje na nekonečno na.

Pokud v (**) dal, dostaneme:

Aby bylo možné najít AK3, je nutné (**) správně odstranit dvakrát, atd. AKI koeficient je tedy rozhodně určen.

Po nalezení všech koeficientů se vrátí do (*), násobí na m (x) a získáme interpolační polynomiální r (x), tj.

Příklad: Najít f (a) pokudkde t. nějaký parametr

Zkontrolujte, zda je funkce definována na spektru matice A

Vynásobte (*) na (x-3)

na x \u003d 3

Vynásobte (*) na (x-5)

Takto, - interpolační polynom.

Příklad 2.

Pokudpak to dokazujte

Najdeme minimální polynomiální matrici A:

- charakteristický polynom.

d.2 (x) \u003d 1, pak minimální polynomiální

Zvažte f (x) \u003d hřích x na matrice spektrum:

Funkce je definována na spektru.

Vynásobte (*)

.

Vynásobte (*):

Vypočítat, přijímání derivátu (**):

. Věřil,

..

Tak,,

Příklad 3.

Nechť f (x) být definován na spektru matrice, jehož minimální polynom je. Najděte interpolační polynomi R (x) pro funkci f (x).

Řešení: pod podmínkou f (x) je definován na spektru matrice a f (1), f(1), f (2), f(2), f (2) definováno.

Používáme metodu neurčitých koeficientů:

Pokud f (x) \u003d ln x

f (1) \u003d 0f.(1)=1

f (2) \u003d ln 2f.(2)=0.5 f.(2)=-0.25

4. Jednoduché matice.

Nechte matici, protože s algebraicky uzavřeném polem, pak

Analýza matrice nebo metoda matrice byla široce distribuována ve srovnávacím posouzení různých obchodních systémů (podniky, jednotlivé podniky atd.). Metoda MATRIX umožňuje určit integrální hodnocení každého podniku v několika indikátorech. Toto hodnocení se nazývá rating Enterprise. Zvažte použití metody matrice stupňů na konkrétním příkladu.

1. Výběr odhadovaných ukazatelů a tvorba počáteční datové matice A IJ, tj. Tabulky, kde se řádky odrážejí v systémových číslech (podnicích) a na sloupci čísel čísel (I \u003d 1,2 ... .n) - systémy; (J \u003d 1,2 ... ..n) - ukazatele. Vybrané ukazatele musí mít stejnou orientaci (čím více, tím lépe).

2. Vypracování matice standardizovaných koeficientů. V každém sloupci je stanoven maximální prvek a pak jsou všechny prvky tohoto sloupu rozděleny do maximálního prvku. Podle výpočtu je vytvořena matrice standardizovaných koeficientů.

V každém sloupci přidělujeme maximální prvek.

Přednášky na disciplíně

"Analýza matice"

pro studenty II

matematická specialita fakulty

"Ekonomická kybernetika"

(lektor Dmitruk Maria Aleksandrovna)

Kapitola 3. Funkce z matric.

1. Definice funkce.

Df. Nech být - Funkce skalárního argumentu. Je nutné určit, co porozumět pod f (a), tj. Je nutné rozšířit funkci f (x) na hodnotu matice argumentu.

Řešení tohoto problému je známo, když f (x) je polynom :, pak.

Definice f (a) v obecném případě.

Nechť m (x) být minimální polynomiální a a má takový kanonický rozklad, - Vlastní hodnoty A. Nechte polynom g (x) a h (x) stejné hodnoty.

Nechť g (a) \u003d h (a) (1) být (1), pak polynomiální d (x) \u003d g (x) -h (x) je zrušení polynomu pro A, protože d (a) \u003d 0, Proto D (x) je rozdělen na lineární polynom, tj. D (x) \u003d m (x) * q (x) (2).

Pak, tj. (3), , , .

Souhlasíme s čísly pro f (x) tak, aby vyvolali hodnoty funkce f (x) na spektru matice a a soubor těchto hodnot bude označena.

Pokud je nastavená f (SP A) definována pro F (x), funkce je určena na spektru matice A.

Z (3) vyplývá, že polynomy h (x) a g (x) mají stejné hodnoty na spektru matrice A.

Naše uvažování je reverzibilní, tj. Z (3) þ (3) þ (1). Pokud je tedy specifikována matrice A, je hodnota polynomu f (x) určena hodnotami tohoto polynomu na spektru matrice A, tj. Všechny polynomy g i (x), přijímání stejných hodnot na matrice spektrum mají stejné hodnoty matrice g i (a). Budeme požadovat, aby definice hodnoty f (a) v obecném případě předložila stejnému principu.

Hodnoty funkce f (x) na spektru matrice A by měly být plně stanoveny f (a), tj. Funkce, které mají stejné hodnoty na spektru, by měly mít stejnou hodnotu matice f (a). Je zřejmé, že pro stanovení f (a), obecně postačuje najít polynomiální g (x), což by mělo mít stejné hodnoty na spektru A, stejně jako funkce f (a) \u003d g (A).

Df. Pokud je f (x) definován na spektru matrice A, pak f (a) \u003d g (a), kde g (a) je polynomial, který trvá stejné významy na spektru jako f (a),

Df. Hodnota funkce z matrice a voláme hodnotu polynomu z této matrice, kdy .

Mezi polynomy od [X] od [X], přičemž stejné hodnoty na matrice spektrum, as, a f (x), stupeň není vyšší (M-1), který trvá stejné hodnoty na spektru A, a f (x) je rovnováha rozdělení jakékoliv polynomiální g (x) mající stejné hodnoty na spektru matrice, stejně jako f (x), na minimální polynomiální m (x) \u003d g (x) \u003d m (x) * g (x) + r (x).

Tento polynomový r (x) se nazývá interpolační polynom lagrange sylvester pro funkci f (x) na spektru matrice A.

Komentář. Pokud minimální polynomiální m (x) matrice není více kořenů, tj. Hodnotu funkce na spektru.

Najít r (x) pro libovolné f (x), pokud je matrice

. Budujeme f (h 1). Najdeme minimální polynomi H1 - poslední invariantní násobitel:

, D N - 1 \u003d x 2; D N - 1 \u003d 1;

m x \u003d f n (x) \u003d d n (x) / d n-1 (x) \u003d x n þ 0 - n -chent root m (x), tj. N-Multiple EigenValues \u200b\u200bH1.

R (0) \u003d f (0), r '(0) \u003d f' (0), ..., r (n - 1) (0) \u003d f (n - 1) (0) þ.

Troika je herní rozhodnutí<=>Když je hra vyřešena, kde A je jakékoli reálné číslo, K\u003e 0 Kapitola 2. Hry s nulovým množstvím v čistých strategiích 2.1 Výpočet optimálních strategií na příkladu řešení problémů s využitím teorému Minimax, to lze argumentovat, že každý antagonistický hra má optimální strategie. Teorém: Nechť A - matrixová hra a struny tohoto ...

Obrázek, který neodpovídá tomu je kandidáty pro výjimku z oblasti působnosti korporace. 5. Vývoj podnikové strategie předcházející analýzou připravila půdu, aby rozvíjela strategická opatření ke zlepšení činností diverzifikované společnosti. Hlavním závěrem o tom, co má dělat závisí na závěrech týkajících se celého souboru činností v hospodářské činnosti ...