Analisis, matriks. Metode pengembangan matriks analisis matriks

11.3. Metode matriks untuk mengembangkan strategi pengembangan organisasi visi lingkungan eksternal dan internal organisasi menjelaskan keanekaragaman organisasi sendiri dan keadaan mereka yang sebenarnya. Parameter menentukan posisi masing-masing

Kursus kuliah tentang disiplin

"Analisis Matrix"

untuk siswa siswa II

spesialisasi fakultas matematika

"Sibernetika ekonomi"

(Dosen Dmitruk Maria Aleksandrovna)

1. Mendefinisikan fungsi.

Df. Biarkan menjadi

Solusi untuk masalah ini dikenal ketika f (x) adalah polinomial:

Definisi f (a) dalam kasus umum.

Biarkan m (x) menjadi polinomial minimum dan memiliki dekomposisi kanonik

Biarkan g (a) \u003d h (a) (1) menjadi (1), maka polinomial d (x) \u003d g (x) -h (x) adalah annouling polinomial untuk A, sejak d (a) \u003d 0, Oleh karena itu, D (x) dibagi menjadi polinomial linier, I.E. d (x) \u003d m (x) * q (x) (2).

Nomor M yang konsisten untuk f (x) seperti itu

Jika set f (sp a) didefinisikan untuk F (x), fungsi ditentukan pada spektrum matriks A.

Dari (3) itu mengikuti bahwa polinomial h (x) dan g (x) memiliki nilai yang sama pada spektrum matriks A.

Alasan kami adalah reversibel, I.E. Dari (3) þ (3) þ (1). Jadi, jika matriks A ditentukan, maka nilai polinomial f (x) ditentukan oleh nilai-nilai polinomial ini pada spektrum matriks A, I.E. Semua polinomial g i (x), menerima nilai yang sama pada spektrum matriks memiliki nilai matriks yang sama dengan g i (a). Kami akan mengharuskan definisi nilai f (a) dalam kasus umum diserahkan ke prinsip yang sama.

Nilai fungsi f (x) pada spektrum matriks A harus sepenuhnya ditentukan f (a), mis .. Fungsi-fungsi yang memiliki nilai yang sama pada spektrum harus memiliki nilai matriks yang sama f (a). Jelas bahwa untuk menentukan f (a), secara umum, cukup untuk menemukan polnomial g (x), yang akan mengambil nilai yang sama pada spektrum A, serta fungsi f (a) \u003d g (Sebuah).

Df. Jika f (x) didefinisikan pada spektrum matriks A, maka f (a) \u003d g (a), di mana g (a) adalah polinomial yang mengambil arti yang sama pada spektrum sebagai f (a),

Df.Nilai fungsi dari matriks a Mari kita sebut nilai polinomial dari matriks ini ketika

Di antara polinomial dari [X], mengambil nilai yang sama pada spektrum matriks, sebagai, dan f (x), derajatnya tidak lebih tinggi (M-1), yang mengambil nilai yang sama pada spektrum A, dan f (x) adalah saldo divisi setiap polinomial g (x) yang memiliki nilai yang sama pada spektrum matriks, serta f (x), ke minimum polinomial m (x) \u003d g (x) \u003d m (x) * g (x) + r (x).

Polynomial r (x) ini disebut interpolasi polinomial lagrange sylvester untuk fungsi f (x) pada spektrum matriks A.

Komentar. Jika matriks Polinomial M (x) minimum bukan beberapa akar, mis.

Contoh:

Temukan r (x) untuk arbitrer f (x) jika matriks

. Kami membangun f (h 1). Kami menemukan Polynomial H 1 minimum - pengganda invarian terakhir:

, D n - 1 \u003d x 2; D n - 1 \u003d 1;

m x \u003d f n (x) \u003d d n (x) / d n - 1 (x) \u003d x nÞ 0 - n -con root m (x), mis. N-Multiple EigenValues \u200b\u200bH 1.

, r (0) \u003d f (0), r '(0) \u003d f' (0), ..., r (N-1) (0) \u003d f (n - 1) (0)Þ .

2. Sifat fungsi dari matriks.

Nomor Properti 1. Jika matriks

Bukti:

Biarkan polinomial karakteristik matriks A mengambil:

Kami akan mengganti dalam kesetaraan:

Kesetaraan (*) berlaku untuk set f (x), jadi ganti polinomial f (x) pada

Di sebelah kiri, kami menerima polinomial karakteristik untuk matriks f (a), ditata pada hak atas pengganda linier, dari mana ia mengikuti itu

Memarahi.

Nomor 2 Properti. Biarkan matriks

Bukti:

Karena Fungsi f (x) didefinisikan pada spektrum matriks A, maka ada interpolasi matriks polinomial r (x) sedemikian rupa

Kursus kuliah tentang disiplin

"Analisis Matrix"

untuk siswa siswa II

spesialisasi fakultas matematika

"Sibernetika ekonomi"

(Dosen Dmitruk Maria Aleksandrovna)

Bab 3. Fungsi dari matriks.

1. Mendefinisikan fungsi.

Df. Biarkan fungsi argumen skalar. Diperlukan untuk menentukan apa yang harus dipahami di bawah F (a), mis. Perlu untuk memperpanjang fungsi f (x) ke nilai matriks argumen.

Solusi dari masalah ini dikenal ketika f (x) polinomial:, lalu.

Definisi f (a) dalam kasus umum.

Biarkan m (x) menjadi polinomial minimum A dan memiliki dekomposisi kanonik, eigenvalue A. Biarkan polinomial g (x) dan h (x) mengambil nilai yang sama.

Biarkan g (a) \u003d h (a) (1), maka polinomial d (x) \u003d g (x) -h (x) \u003d g (x) -h (x) -h (x), annuling polinomial untuk A, sejak D (A) \u003d 0, oleh karena itu, D (x) dibagi menjadi polinomial linier, I.E. d (x) \u003d m (x) * q (x) (2).

Lalu, aku. (3) ,.

Kami menyetujui N angka untuk F (x) sehingga untuk memanggil nilai fungsi f (x) pada spektrum matriks A, dan set nilai-nilai ini akan dilambangkan.

Jika set f (sp a) didefinisikan untuk F (x), fungsi ditentukan pada spektrum matriks A.

Dari (3) itu mengikuti bahwa polinomial h (x) dan g (x) memiliki nilai yang sama pada spektrum matriks A.

Alasan kami adalah reversibel, I.E. Dari (3) (3) (1). Jadi, jika matriks A ditentukan, maka nilai polinomial f (x) ditentukan oleh nilai-nilai polinomial ini pada spektrum matriks A, I.E. Semua polinomial GI (x) menerima nilai yang sama pada spektrum matriks memiliki nilai matriks yang sama GI (a). Kami akan mengharuskan definisi nilai f (a) dalam kasus umum diserahkan ke prinsip yang sama.

Nilai fungsi f (x) pada spektrum matriks A harus sepenuhnya ditentukan f (a), mis .. Fungsi-fungsi yang memiliki nilai yang sama pada spektrum harus memiliki nilai matriks yang sama f (a). Jelas bahwa untuk menentukan f (a), secara umum, cukup untuk menemukan polnomial g (x), yang akan mengambil nilai yang sama pada spektrum A, serta fungsi f (a) \u003d g (Sebuah).

Df. Jika f (x) didefinisikan pada spektrum matriks A, maka f (a) \u003d g (a), di mana g (a) adalah polinomial yang mengambil arti yang sama pada spektrum sebagai f (a),

Df. Nilai fungsi dari matriks a Mari kita sebut nilai polinomial dari matriks ini di.

Di antara polinomial dari [x] menerima nilai yang sama pada spektrum matriks, AS, dan F (x), derajatnya tidak lebih tinggi (M-1), menerima nilai yang sama pada spektrum, serta f (x) adalah saldo divisi apa pun dari setiap polinomial g (x) yang memiliki nilai yang sama pada spektrum matriks A, serta f (x), ke minimum polinomial m (x) \u003d g (x ) \u003d m (x) * g (x) + r (x).

Polynomial r (x) ini disebut interpolasi polinomial lagrange sylvester untuk fungsi f (x) pada spektrum matriks A.

Komentar. Jika matriks Polinomial M (x) minimum bukan beberapa akar, mis. Nilai fungsi pada spektrum.

Contoh:

Temukan r (x) untuk arbitrer f (x) jika matriks

. Kami membangun f (h1 ). Kami menemukan polinomial minimum h1 Pengganda invarian terakhir:

, D.n-1.\u003d X.2 ; D.n-1.=1;

m.x.\u003d F.n.(x) \u003d Dn.(x) / dn-1.(x) \u003d xn. 0 N.beberapa root m (x), mis. N-multiple hi-nilai h1 .

, R (0) \u003d f (0), r(0) \u003d f(0), ..., r(N-1)(0) \u003d f(N-1)(0) .

1. Sifat fungsi dari matriks.

Nomor Properti 1. Jika matriks memiliki nilai eigen (mereka juga dapat memasukkan banyak), dan, maka nilai eigen dari matriks f (a) adalah nilai eigen dari polinomial f (x) :.

Bukti:

Biarkan polinomial karakteristik matriks A mengambil:

Menghitung. Kami beralih dari kesetaraan ke pengidentifikasi:

Kami akan mengganti dalam kesetaraan:

Kesetaraan (*) berlaku untuk set f (x), jadi saya akan mengganti polinomial f (x) pada, kami memperoleh:

Di sebelah kiri, kami memperoleh polinomial karakteristik untuk matriks f (a), yang diletakkan ke faktor linier, dari mana ia mengikuti bahwa nilai eigen dari matriks f (a).

Memarahi.

Nomor 2 Properti. Biarkan matriks dan nilai eigen dari matriks A, F (x) fungsi sewenang-wenang didefinisikan pada spektrum matriks A, maka nilai eigen dari matriks f (a) sama.

Bukti:

Karena Fungsi f (x) didefinisikan pada spektrum matriks A, maka ada polinomial interpolasi dari matriks r (x) sedemikian rupa sehingga, dan kemudian f (a) \u003d r (a), dan matriks r ( a) akan menjadi nilai mereka sendiri dengan nomor properti 1 adalah yang sama dengannya.

Memarahi.

Nomor 3 Properti. Jika dan dalam matriks seperti itu, mis. , dan f (x) fungsi sewenang-wenang didefinisikan pada spektrum matriks A, kemudian

Bukti:

Karena A dan B serupa, polinomial mereka yang khas adalah sama dan nilai-nilai mereka sendiri sama, jadi nilai f (x) pada spektrum matriks bertepatan dengan nilai fungsi f (x) pada spektrum dari matriks, dengan interpolasi polinomial r (x), sedemikian rupa sehingga f (a) \u003d r (a) ,.

Memarahi.

Properti nomor 4. Jika matriks blok-diagonal, maka

Konsekuensi: Jika, di mana f (x) fungsi didefinisikan pada spektrum matriks A.

1. Interpolasi Polynomial Lagrange Sylvester.

Nomor Kasus 1.

Biarkan itu diberikan. Pertimbangkan kasus pertama: Polinomial karakteristik memiliki persis n akar, di antaranya tidak ada banyak, I.E. Semua nilai eigen dari matriks berbeda, mis. , SP sederhana. Dalam hal ini, kami membangun polinomial dasar lk (x):

Biarkan F (x) menjadi fungsi yang didefinisikan pada spektrum matriks A dan nilai fungsi ini pada spektrum akan. Perlu membangun.

Membangun:

Perhatikan itu.

Contoh: Membangun Interpolasi Lagrange Lagrange Sylvester untuk Matriks.

Bangun polinomial dasar:

Kemudian untuk fungsi f (x), ditentukan pada spektrum matriks A, kita akan mendapatkan:

Mengambil, kemudian interpolasi polinomial

Kasus nomor 2.

Matriks Polinomial Karakteristik A memiliki banyak akar, tetapi polinomial minimum dari matriks ini adalah pembagi polinomial karakteristik dan hanya memiliki akar sederhana, I.E. . Dalam hal ini, polinomial interpolasi dibangun seperti pada kasus sebelumnya.

Kasus nomor 3.

Pertimbangkan kasus umum. Biarkan polinomial minimum terlihat seperti:

di mana M1 + M2 + ... + MS \u003d M, DEG R (X)

Mari kita buat fungsi rasional fraksional:

dan meletakkannya pada fraksi paling sederhana.

Menunjukkan:. Multiply (*) dan dapatkan

di mana beberapa fungsi yang tidak menarik hingga tak terbatas.

Jika di (**) dimasukkan, kita dapatkan:

Untuk menemukan AK3 perlu (**) untuk menghapus dua kali, dll. Dengan demikian, koefisien AKI pasti ditentukan.

Setelah menemukan semua koefisien akan kembali ke (*), mengalikan m (x) dan kami memperoleh interpolasi polnomial r (x), mis ..

Contoh: Temukan f (a) jikadimana t. beberapa parameter

Periksa apakah fungsinya didefinisikan pada spektrum matriks a

Multiply (*) pada (x-3)

di x \u003d 3

Multiply (*) pada (x-5)

Lewat sini, - Interpolation Polinomial.

Contoh 2.

Jika sebuahKemudian buktikan itu

Kami menemukan matriks polinomial minimum A:

- Polinomial karakteristik.

d.2 (x) \u003d 1, maka polinomial minimum

Pertimbangkan f (x) \u003d sin x pada spektrum matriks:

Fungsi ini didefinisikan pada spektrum.

Multiply (*) pada

.

Multiply (*) pada:

Hitung, mengambil turunan (**):

. Dipercaya,

..

Begitu,,

Contoh 3.

Biarkan f (x) didefinisikan pada spektrum matriks, polinomial minimum yang. Temukan interpolasi polinomial r (x) untuk fungsi f (x).

Solusi: Di \u200b\u200bbawah kondisi f (x) didefinisikan pada spektrum matriks A f (1), f(1), f (2), f(2), f (2) didefinisikan.

Kami menggunakan metode koefisien tidak terbatas:

Jika f (x) \u003d ln x

f (1) \u003d 0f.(1)=1

f (2) \u003d ln 2f.(2)=0.5 f.(2)=-0.25

4. Matriks sederhana.

Biarkan matriks, karena dengan bidang yang ditutup secara aljabar, maka

Analisis matriks atau metode matriks didistribusikan secara luas dalam penilaian komparatif dari berbagai sistem bisnis (perusahaan, unit individu perusahaan, dll.). Metode matriks memungkinkan Anda untuk menentukan penilaian integral dari setiap perusahaan dalam beberapa indikator. Penilaian ini disebut peringkat perusahaan. Pertimbangkan penggunaan metode tahapan matriks pada contoh tertentu.

1. Pemilihan perkiraan indikator dan pembentukan matriks data awal IJ, yaitu, tabel di mana baris tercermin dalam angka sistem (perusahaan), dan pada kolom angka angka (i \u003d 1.2 ....n) - sistem; (J \u003d 1.2 ... ..n) - Indikator. Indikator yang dipilih harus memiliki orientasi yang sama (semakin banyak, semakin baik).

2. Menyusun matriks koefisien standar. Di setiap kolom, elemen maksimum ditentukan, dan kemudian semua elemen kolom ini dibagi menjadi elemen maksimum. Menurut perhitungan, matriks koefisien standar dibuat.

Kami mengalokasikan elemen maksimum di setiap kolom.

Kursus kuliah tentang disiplin

"Analisis Matrix"

untuk siswa siswa II

spesialisasi fakultas matematika

"Sibernetika ekonomi"

(Dosen Dmitruk Maria Aleksandrovna)

Bab 3. Fungsi dari matriks.

1. Definisi fungsi.

Df. Biarkan menjadi - Fungsi argumen skalar. Diperlukan untuk menentukan apa yang harus dipahami di bawah F (a), mis. Perlu untuk memperpanjang fungsi f (x) ke nilai matriks argumen.

Solusi dari masalah ini dikenal ketika f (x) adalah polinomial:, lalu.

Definisi f (a) dalam kasus umum.

Biarkan m (x) menjadi polinomial minimum dan memiliki dekomposisi kanonik, - Nilai-nilai sendiri A. Biarkan polinomial g (x) dan h (x) mengambil nilai yang sama.

Biarkan g (a) \u003d h (a) (1) menjadi (1), maka polinomial d (x) \u003d g (x) -h (x) adalah annouling polinomial untuk A, sejak d (a) \u003d 0, Oleh karena itu, D (x) dibagi menjadi polinomial linier, I.E. d (x) \u003d m (x) * q (x) (2).

Lalu, aku. (3), , , .

Kami menyetujui N angka untuk F (x) sehingga untuk memanggil nilai fungsi f (x) pada spektrum matriks A, dan set nilai-nilai ini akan dilambangkan.

Jika set f (sp a) didefinisikan untuk F (x), fungsi ditentukan pada spektrum matriks A.

Dari (3) itu mengikuti bahwa polinomial h (x) dan g (x) memiliki nilai yang sama pada spektrum matriks A.

Alasan kami adalah reversibel, I.E. Dari (3) þ (3) þ (1). Jadi, jika matriks A ditentukan, maka nilai polinomial f (x) ditentukan oleh nilai-nilai polinomial ini pada spektrum matriks A, I.E. Semua polinomial g i (x), menerima nilai yang sama pada spektrum matriks memiliki nilai matriks yang sama dengan g i (a). Kami akan mengharuskan definisi nilai f (a) dalam kasus umum diserahkan ke prinsip yang sama.

Nilai fungsi f (x) pada spektrum matriks A harus sepenuhnya ditentukan f (a), mis .. Fungsi-fungsi yang memiliki nilai yang sama pada spektrum harus memiliki nilai matriks yang sama f (a). Jelas bahwa untuk menentukan f (a), secara umum, cukup untuk menemukan polnomial g (x), yang akan mengambil nilai yang sama pada spektrum A, serta fungsi f (a) \u003d g (Sebuah).

Df. Jika f (x) didefinisikan pada spektrum matriks A, maka f (a) \u003d g (a), di mana g (a) adalah polinomial yang mengambil arti yang sama pada spektrum sebagai f (a),

Df. Nilai fungsi dari matriks dan kami menyebut nilai polinomial dari matriks ini ketika .

Di antara polinomial dari [X], mengambil nilai yang sama pada spektrum matriks, sebagai, dan f (x), derajatnya tidak lebih tinggi (M-1), yang mengambil nilai yang sama pada spektrum A, dan f (x) adalah saldo divisi setiap polinomial g (x) yang memiliki nilai yang sama pada spektrum matriks, serta f (x), ke minimum polinomial m (x) \u003d g (x) \u003d m (x) * g (x) + r (x).

Polynomial r (x) ini disebut interpolasi polinomial lagrange sylvester untuk fungsi f (x) pada spektrum matriks A.

Komentar. Jika matriks Polinomial M (x) minimum bukan beberapa akar, mis. Nilai fungsi pada spektrum.

Temukan r (x) untuk arbitrer f (x) jika matriks

. Kami membangun f (h 1). Kami menemukan Polynomial H 1 minimum - pengganda invarian terakhir:

, D n - 1 \u003d x 2; D n - 1 \u003d 1;

m x \u003d f n (x) \u003d d n (x) / d n-1 (x) \u003d x n þ 0 - n -chent root m (x), mis .. N-Multiple EigenValues \u200b\u200bH 1.

R (0) \u003d f (0), r '(0) \u003d f' (0), ..., r (n - 1) (0) \u003d f (n - 1) (0) þ.

Troika adalah keputusan permainan<=>Ketika sebuah permainan diselesaikan, di mana A adalah bilangan real, K\u003e 0 Bab 2. Game dengan jumlah nol dalam strategi bersih 2.1 perhitungan strategi optimal atas contoh pemecahan masalah menggunakan teorema minimax, dapat dikatakan bahwa setiap antagonis Game memiliki strategi optimal. Teorema: Biarkan A - permainan matriks dan string dari ini ...

Gambar yang tidak sesuai dengan kandidat untuk pengecualian dari ruang lingkup korporasi. 5. Pengembangan strategi korporasi analisis sebelumnya telah menyiapkan tanah untuk mengembangkan langkah-langkah strategis untuk meningkatkan kegiatan perusahaan yang beragam. Kesimpulan utama tentang apa yang harus dilakukan tergantung pada kesimpulan yang berkaitan dengan seluruh serangkaian kegiatan dalam kegiatan ekonomi ...