«Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда. Построение сечений тетраэдра и Сечение тетраэдра плоскостью по трем точкам

Тип урока:

Урок изучения нового материала.

Вид урока:

Урок с применением ИКТ.

Геометрия: учебник для 10-11 кл. / Л.С. Атанасян. – М.: Просвещение, 2010;

Раздаточный материал: карточки с заданиями.

Интерактивная доска;

Ноутбук;

Презентация, выполненная в программе PowerPoint;

Рисунки, выполненные в программе Paint;

Модели тетраэдра, параллелепипеда, прямоугольного параллелепипеда, куба.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Классная работа. Тема урока: Построение сечений тетраэдра. 29.10.

А В С Д ТЕТРАЭДР - ДАВС Тетраэдр « tetra »- четыре, « hedra »- грань.

Цель урока: Задачи урока: Формирование умения строить сечения тетраэдра с плоскостью, проходящей через три заданные точки. Обучающие: - ввести определение секущей плоскости и сечения тетраэдра плоскостью; - сформулировать алгоритм построения точки пересечения прямой и плоскости; - сформулировать алгоритм построения сечение тетраэдра плоскостью. Развивающие: - продолжить формирование пространственного воображения и математической речи; - развивать аналитическое мышление при выработке алгоритма построения точки пересечения прямой и плоскости и сечение многогранников. Воспитывающие: - вырабатывать умение осознанно трудиться над поставленной целью; - воспитание культуры общения.

Аксиомы и теоремы стереометрии. 1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения параллельны. 2. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. 3. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. 4. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. 5. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. А Б В Г Д

Задание: Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью М NK .

2. Задание: Построить прямые, проходящие через точки M , N , K .

Сечение A B C D M N K

А В С D M N K α

A B C D M N K Следом называют прямую пересечения плоскости сечения и плоскости какой-либо грани многогранника. MK – след плоскости MNK на плоскости ABC MN - … NK - …

Какие многоугольники могут получиться в сечении? Тетраэдр имеет 4 грани В сечениях могут получиться: Четырехугольники Треугольники

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки E , F , K . E F K L A B C D M 1. Проводим К F . 2. Проводим FE . 3. Продолжим EF , продол- жим AC . 5. Проводим MK . 7. Проводим EL EFKL – искомое сечение Правила 6. MK AB=L 4. EF AC = М

При этом необходимо учитывать следующее: 1. Соединять можно только две точки, лежащие в плоскости одной грани. Для построения сечения нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами и соединить их отрезками. 2 . Если в плоскости грани отмечена только одна точка, принадлежащая плоскости сечения, то надо построить дополнительную точку. Для этого необходимо найти точки пересечения уже построенных прямых с другими прямыми, лежащими в тех же гранях.

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки E , F , K . 1 способ 2 способ

Вывод: независимо от способа построения сечения одинаковые. Способ №1. Способ №2.

Проверьте правильность построения сечения. Объясните ошибку.

А В С D N K M X P T Проверь себя Решение 1. KN = α ∩ ДВС Х = К N ∩ ВС Т = МХ ∩ АВ Р = ТХ ∩ АС РТ = α ∩ АВС, М є РТ PN = α ∩ АДС ТР N K - искомое сечение

Точка М является внутренней точкой грани ВС D тетраэдра DABC . Постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М, параллельно плоскости АВ D . С D А В М К L N

Задание Построить сечение тетраэдра ABCD , проходящее через точку R параллельно грани BCD . 2. Построить сечение тетраэдра ABCD , проходящее через точку S параллельно грани ABC . 3. Построить сечение тетраэдра ABCD , проходящее через точку T параллельно грани ACD . 4. Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точку M, параллельно грани ВС D .

А D B C  S 2 . А D B C  R 1 . А D B C T  3 . 4.

Домашнее задание Изучить п.14 2. № 73 (стр. 29) 3. Творческое задание (по желанию): изготовить бумажную модель тетраэдра.

Предварительный просмотр:

МБОУ «Кимовская средняя общеобразовательная школа

Спасского муниципального района

Республики Татарстан»

Тема урока :

«Построение сечений тетраэдра»

10 класс

Разработала

Мамонова Евгения Геннадьевна,

Учитель математики первой квалификационной категории

Октябрь, 2013г.

Образовательные задачи:

обеспечить в ходе урока усвоение алгоритма решения задач на построение сечений тетраэдра.
обеспечить усвоение понятий тетраэдра, систематизировать знания, связанные с аксиомами стереометрии, определениями, свойствами, понятием взаимного расположения точек, прямых и плоскостей в пространстве.
формировать навыки изображения рассматриваемых объектов на плоскости и “чтение” предлагаемых изображений, графической грамотности;
формировать умения применять приемы сравнения, обобщения, умозаключения.

Развивающие задачи:

развитие умения применять полученные знания по стереометрии на практике,
формирование умения анализировать и обобщать знания в процессе решения задач на построение сечений тетраэдра.
уметь выполнять различные вычисления, связанные с определением площади сечения.

Воспитательные задачи:

воспитание осознанной потребности в знаниях,
совершенствование учебных умений и навыков,
воспитывать познавательный интерес к предмету через приобретение пространственного воображения и умения видеть красоту окружающего мира.

Тип урока:

Урок изучения нового материала.

Вид урока:

Урок с применением ИКТ.

Методы обучения:

Беседа;

Фронтальный опрос;

Иллюстративно-наглядный;

Практический;

Метод сравнения, обобщения.

Учебно-методическое оснащение:

Геометрия: учебник для 10-11 кл. / Л.С. Атанасян. – М.: Просвещение, 2010;

Раздаточный материал: карточки с заданиями.

Материально-техническое оснащение:

Интерактивная доска;

Ноутбук;

Презентация, выполненная в программе PowerPoint;

Рисунки, выполненные в программе Paint;

Модели тетраэдра, параллелепипеда, прямоугольного параллелепипеда, куба.

Структура урока :

Орг. момент (1 мин).
Актуализация ранее приобретенных знаний (3 мин).
Подготовка к восприятию нового материала (3 мин).
Создание проблемной ситуации (3 мин).
Объяснение нового материала (10 мин).
Закрепление изученного материала (5 мин).
Самостоятельная работа с последующей проверкой (3 мин).
Практикум (5 мин).
Решение задачи (8 мин)
Это интересно (1 мин).
Постановка домашнего задания (1 мин).
Подведение итогов урока, рефлексия (2 мин).

Ход урока:

Этапы урока	Деятельность учителя	Деятельность обучающихся	Время
1.Орг. момент	Здравствуйте, ребята. Садитесь. " Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Все вокруг - геометрия". (Слайд №2) Эти слова, сказанные великим французским архитектором Ле Корбюзье в начале ХХ века, очень точно характеризуют и наше время. Мир, в котором мы живем, наполнен геометрией домов и улиц, гор и полей, творениями природы и человека. Лучше ориентироваться в нем, открывать новое, понимать красоту и мудрость окружающего мира поможет вам эта наука. Поэтому я предлагаю вам с еще большим усердием заняться изучением геометрии.	Приветствуют учителя. Садятся.	1 мин
2.Актуализация ранее приобретенных знаний	Устная работа. Вопросы: С каким многогранником мы познакомились на прошлом уроке? Дайте определение тетраэдра. (Слайд №3) Покажите элементы тетраэдра на модели. Тема сегодняшнего урока «Построение сечений тетраэдра» (Слайд №4). Запишите тему в тетрадях. Нам предстоит узнать какая плоскость называется секущей, способы и методы построения сечений, научиться строить сечения тетраэдра (Слайд №5). В течение урока вы будете работать с конспектами и строить сечения тетраэдра в них.	С тетраэдром. Поверхность, составленная из четырех треугольников, называется тетраэдром. Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями, их стороны – ребрами, а вершины – вершинами тетраэдра. Тетраэдр имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины. Одну из граней тетраэдра называют основанием, а три другие – боковыми гранями. Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными. Записывают число и тему урока в тетради.	3 мин
3.Подготовка к восприятию нового материала	Для этого нам нужно вспомнить несколько аксиом и теорем. Задание: Соотнести чертеж с формулировкой теоремы или аксиомы. (Слайд 6)	Формулируют аксиомы и теоремы, соотносят их с рисунками. Ответ: Д-1 В-2 Б-3 А-4 Г-5	3 мин
4. Создание проблемной ситуации.	1. Задание: (Слайд 7) Найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью МNK. Вопросы: Какой плоскости принадлежит прямая АВ? Постройте ее. Каким плоскостям принадлежит прямая MN? Продолжите ее. Вы получили точку пересечения прямых АВ и MN. Обозначьте ее. Какой плоскости принадлежит эта точка? Сделайте вывод. 2. Задание: (Слайд 8) Построить прямые, проходящие через точки M, N, K. Какая фигура получается при пересечении прямых? Какой особенностью обладает данный треугольник?	Записывают задание в тетрадь : Отвечают на вопросы: АВ є MDN. MN = MDN ∩ MКN. Р = MN ∩ АВ Р є MКN Р = АВ ∩ МNK. Строят прямые MK, KN, MN. Аргументируют свой ответ. При пересечении прямых получается треугольник MNK. Треугольник делит тетраэдр на две части. Каждая сторона треугольника принадлежит грани многогранника.	3 мин
5. Объяснение нового материала.	Итак, мы с вами построили сечение тетраэдра. Треугольник, образованный прямыми MK, MN, KN, называется сечением (Слайд 9 ), а плоскость MKN – секущей. (Слайд 10) Каковы особенности секущей плоскости? (Слайд 9,10) Основные понятия (Слайд 11 ) При построении сечения мы использовали метод следов. (Слайд 12) Сейчас вы вспомните, как мы построили сечение и сформулируете алгоритм построения сечений методом следов. Проверим алгоритмы. Какие многоугольники могут получить в сечении тетраэдра? (Слайд 13) Решение задачи. (Слайд 14) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через сторону основания тетраэдра и данную точку на противолежащем ребре. Построение сечения, проходящего через точки E, F, K. (Слайд 15, 16) Как расположены точки E, F, K. Какие прямые можно построить? Для построения сечения нам нужна дополнительная точка. EF ∩ AC =М. Проводим МК. MK ∩ AB = L. Проводим EL. EFKL – искомое сечение.	1.Это плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника. 2.Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Читают определение следа. Продолжают фразы. Алгоритм. 1.Отыскать в одной грани две точки сечения. 2.Построить след сечения на плоскости тетраэдра. 3.Повторить п.1-2 еще 2 раза. 4.Заштриховать полученное сечение. Конспектируют Треугольники и четырехугольники. E, F є ADC, F, K є BDC. Можно построить прямые КF, FЕ.	10 мин
6. Закрепление изученного материала.	Построение сечений на интерактивной доске. Два способа. (Слайд 17) Вывод: независимо от способа построения сечения одинаковые. (Слайд 18) Каким условием мы должны дополнить наш алгоритм, чтобы построить сечение методом следов. Подумайте и допишите алгоритм. Проверим. Задание: Проверьте правильность построения сечения. Объясните ошибку. (Слайд 19)	Строят сечения тетраэдра двумя способами. Найти дополнительную точку сечения на ребре тетраэдра Через полученную дополнительную точку на следе и точку сечения в выбранной грани провести прямую Отметить точки пересечения прямой с ребрами грани. Ошибки: 1.Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра по отрезкам (в грани АВК такого отрезка нет, а в грани ВКС – таких отрезков 2) 2. Сечением тетраэдра не могут быть пятиугольники.	5 мин
7.Самостоятельная работа с последующей проверкой	(Слайд 20)	Выполняют самостоятельную работу (-Если возникнут проблемы, можете посоветоваться с товарищем по парте)	3 мин
8.Практикум	Еще один метод, применяемый при построении сечений – это метод параллельных прямых. Задание: (Слайд 21 ) Точка М является внутренней точкой грани ВСД тетраэдра ДАВС. Постройте сечение этого тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М, параллельно плоскости АВД. Вспомните название метода и предложите способ построения сечения. Решение. Т.к. секущая плоскость параллельна плоскости АВД, то она параллельна прямым АД, АВ, ДВ. Следовательно, секущая плоскость пересекает боковые грани тетраэдра по прямым, параллельным сторонам треугольника АВД. Отсюда вытекает следующий способ построения искомого сечения. Проведем через точку М прямую, параллельную отрезку ВД, и обозначим буквами L и N точки пересечения этой прямой с боковыми ребрами ДВ и ДС. Затем через точку L проведем прямую, параллельную отрезку АС, и обозначим буквой К точку пересечения этой прямой с ребром АС. Треугольник LKN – искомое сечение. Задание . Построить сечение на интерактивной доске Задание: (Слайд 22) Построить сечения. Сверим ответы (Слайд 23)		5 мин
9 Решение задачи	Приложение 1		8 мин
10.Это интересно	Сечение в рисунке, при моделировании одежды, в жизни. (Слайды 24-26)		1 мин
11.Постановка домашнего задания	Изучить п.14, №73 (стр. 29) (Слайд 27) Творческое задание (по желанию): изготовить бумажную модель тетраэдра.		1 мин
12. Рефлексия, итог урока	О каком многограннике шла речь сегодня на уроке? Какие задачи мы научились сегодня решать? (задачи на построение сечений) Какие действия должен уметь выполнять ученик для построения сечений многогранников? (находить точки пересечения прямой и плоскости; строить линию пересечения двух плоскостей) (Слайд 29)		2 мин

Разработка урока

по теме «Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда» в 10 «А» классе

Цель урока:

научить строить сечения тетраэдра и параллелепипеда плоскостью;

формировать умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы;

развивать навыки самостоятельной деятельности у обучающихся, умения работать в группе.

Оборудование: проектор, интерактивная доска, раздаточный материал.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Методы и приемы, используемые на уроке: наглядный, практический, проблемно-поисковый, групповой, элементы исследовательской деятельности.

I . Организационный момент.

Учитель сообщает тему и цель урока (слайд №1 ).

II . Актуализация знаний.

Учитель: Выполняя домашнее задание вам нужно было найти точки встречи прямых и плоскостей, след секущей плоскости на плоскости грани многогранника. Прокомментируйте, что для этого необходимо сделать.

(Обучающиеся комментируют домашнее задание (слайды №2-3 ).

Учитель: Чтобы перейти к изучению новой темы, давайте повторим теоретический материал, ответив на вопросы:

Что называется секущей плоскостью (слайд №4 )? (Обучающиеся дают определение.)

Что называется сечением многогранника (слайд №5 )?(Формулируется определение.)

Что необходимо сделать для того, чтобы построить сечение многогранника плоскостью?

Построение сечения сводится к построению линий пересечения секущей плоскости и плоскостей граней многогранника.)

Обязательно ли секущая плоскость должна пересечь плоскости всех граней многогранника?

Учитель: Давайте проведем небольшое исследование и ответим на вопрос: «Какая фигура может получиться в сечении тетраэдра или параллелепипеда плоскостью?»

(Обучающиеся, работая в группах, ищут ответ на поставленный вопрос.)

(Через несколько минут они формулируют свои предположения, и идет демонстрация слайдов 6 – 7 .)

Учитель: Давайте повторим правила, о которых необходимо помнить при построении сечений многогранника (обучающиеся вспоминают и формулируют нужные аксиомы, теоремы, свойства):

Если две точки принадлежат секущей плоскости и плоскости некоторой грани многогранника, то прямая, проходящая через данные точки, будет являться следом секущей плоскости на плоскости грани.

Если секущая плоскость параллельна прямой, лежащей в некоторой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения этих плоскостей параллельна данной прямой.

При пересечении двух параллельных плоскостей секущей плоскостью получаются параллельные прямые.

Если секущая плоскость параллельна некоторой плоскости, то эти две плоскости пересекают третью плоскость по прямым, параллельным между собой.

Если у секущей плоскости и плоскостей двух пересекающихся граней есть общая точка, то она лежит на прямой, содержащей общее ребро данных граней.

Учитель: Найдите ошибки на данных чертежах, обоснуйте свое утверждение (слайды8-9 ).

Учитель: Итак, ребята, мы подготовили теоретическую базу, чтобы научиться строить сечения многогранников плоскостью, в частности сечения тетраэдра и параллелепипеда. Большую часть заданий вы будете выполнять самостоятельно, работая в группах, поэтому у каждого из вас есть рабочие листы с заготовками чертежей многогранников, на которых вы будете строить сечения. При необходимости, вы можете обращаться за консультацией к учителю или старшему в группе.

Итак, вашему вниманию предлагается первое задание : ( слайд №10 ) постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через заданные точки M , N , K . (В сечении получается треугольник, проверка - слайд №11 .)

Учитель: Рассмотрим вторую задачу : Дан тетраэдр DABC . Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK , если M DC , N AD , K AB . ( Слайд №12 )

(Провести решение задачи вместе с классом, комментируя построение.)

( Задача №3 – самостоятельная работа в группах (слайд №14 ). Проверка - слайд № 15 .)

Задача №4 : Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK , где M и N – середины ребер AB и BC ( слайд № 16 ). (Проверка на слайде №17 .)

Учитель : Переходим к следующей части урока. Рассмотрим задачи на построение сечений параллелепипеда плоскостью. Мы выяснили, что в сечении параллелепипеда плоскостью может получиться треугольник, четырехугольник, пятиугольник или шестиугольник. Правила построения сечений те же. Предлагаю перейти к следующей задаче, которую вы решите самостоятельно.

(Демонстрируется слайд №18 )

Задача №5

Постройте сечение параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плоскостью MNK , если M AA 1 , N BB 1 , K CC 1 . (Проверка на слайде № 19 ).

Задача № 6 : ( Слайд № 20 ) Постройте сечение параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плоскостью PTO , если P , T , O принадлежат соответственно ребрам АА 1 , ВВ 1 , СС 1 .

(Решение обсуждается, учащиеся строят сечение на индивидуальных листах и записывают ход построения (слайд № 21 ).)

TO ∩ BC = M

TP ∩ AB = N

NM ∩ AD = L

NM ∩ CD = F

PL, FO

PTOFL – искомое сечение.

Задача №7: (слайд № 22) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью KMN , если K A 1 D 1 , N , M AB .

Решение: ( слайд № 23)

MN ∩ AD=Q;

QK∩AA 1 =P;

PM;

NE II PK; KF II MN;

FE.

MPKFEN – искомое сечение.

Творческие задания (карточки по вариантам):

В правильной треугольной пирамиде S АВС через вершину С и середину ребра S А проведите сечение пирамиды, параллельное SB . На ребре АВ взята точка F так, что А F : F В=3:1. Через точку F и середину ребра S С проведена прямая. Будет ли эта прямая параллельна плоскости сечения?

АВ 1 С - сечение прямоугольного параллелепипеда АВС D А 1 В 1 С 1 D 1. Через точки Е, F , К, которые являются соответственно серединами ребер DD 1 , А 1 D 1 , D 1 C 1 проведено второе сечение. Докажите, что треугольники Е F К и АВ 1 C подобны, и установите какие углы этих треугольников равны между собой.

Итог урока: Итак, мы познакомились с правилами построения сечений тетраэдра и параллелепипеда, рассмотрели виды сечений, решали простейшие задачи на построение сечений. На следующем уроке мы продолжим изучение темы, рассмотрим более сложные задачи.

А теперь подведем итог урока, ответив на наши традиционные вопросы (слайд № 24 ):

«Мне понравился (не понравился) урок, потому что….»

«Сегодня на уроке я научился….»

«Мне хочется, чтобы….»

(Выставление оценок за урок.)

Задание на дом: п.14 №105, 106. ( слайд № 25 )

Дополнительное задание к №105 : Найдите отношение, в котором плоскость MNK делит ребро AB , если CN : ND = 2:1, BM = MD и точка K – середина медианы AL треугольника ABC .

(Закончить выполнение творческого задания.)

На этом уроке мы рассмотрим тетраэдр и его элементы (ребро тетраэдра, поверхность, грани, вершины). И решим несколько задач на построение сечений в тетраэдре, используя общий метод для построения сечений.

Тема: Параллельность прямых и плоскостей

Урок: Тетраэдр. Задачи на построение сечений в тетраэдре

Как построить тетраэдр? Возьмем произвольный треугольник АВС . Произвольную точку D , не лежащую в плоскости этого треугольника. Получим 4 треугольника. Поверхность, образованная этими 4 треугольниками, и называется тетраэдром (Рис. 1.). Внутренние точки, ограниченные этой поверхностью, также входят в состав тетраэдра.

Рис. 1. Тетраэдр АВСD

Элементы тетраэдра
А, B , C , D - вершины тетраэдра .
AB , AC , AD , BC , BD , CD - ребра тетраэдра .
ABC , ABD , BDC , ADC - грани тетраэдра .

Замечание: можно принять плоскость АВС за основание тетраэдра , и тогда точка D является вершиной тетраэдра . Каждое ребро тетраэдра является пересечением двух плоскостей. Например, ребро АВ - это пересечение плоскостей АВ D и АВС . Каждая вершина тетраэдра - это пересечение трех плоскостей. Вершина А лежит в плоскостях АВС , АВ D , А D С . Точка А - это пересечение трех означенных плоскостей. Этот факт записывается следующим образом: А = АВС ∩ АВ D ∩ АС D .

Тетраэдр определение

Итак, тетраэдр - это поверхность, образованная четырмя треугольниками.

Ребро тетраэдра - линия перечесения двух плоскостей тетраэдра.

Составьте из 6 спичек 4 равных треугольника. На плоскости решить задачу не получается. А в пространстве это сделать легко. Возьмем тетраэдр. 6 спичек - это его ребра, четыре грани тетраэдра и будут четырьмя равными треугольниками. Задача решена.

Дан тетраэдр АВС D . Точка M принадлежит ребру тетраэдра АВ , точка N принадлежит ребру тетраэдра В D и точка Р принадлежит ребру D С (Рис. 2.). Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNP .

Рис. 2. Рисунок к задаче 2 - Построить сечение тетраэдра плоскостью

Решение :
Рассмотрим грань тетраэдра D ВС . В этой грани точки N и P принадлежат грани D ВС , а значит, и тетраэдру. Но по условию точки N, P принадлежат секущей плоскости. Значит, NP - это линия пересечения двух плоскостей: плоскости грани D ВС и секущей плоскости. Предположим, что прямые NP и ВС не параллельны. Они лежат в одной плоскости D ВС. Найдем точку пересечения прямых NP и ВС . Обозначим ее Е (Рис. 3.).

Рис. 3. Рисунок к задаче 2. Нахождение точки Е

Точка Е принадлежит плоскости сечения MNP , так как она лежит на прямой NР , а прямая NР целиком лежит в плоскости сечения MNP .

Также точка Е лежит в плоскости АВС , потому что она лежит на прямой ВС из плоскости АВС .

Получаем, что ЕМ - линия пересечения плоскостей АВС и MNP, так как точки Е и М лежат одновременно в двух плоскостях - АВС и MNP. Соединим точки М и Е , и продолжим прямую ЕМ до пересечения с прямой АС . Точку пересечения прямых ЕМ и АС обозначим Q .

Итак, в этом случае NPQМ - искомое сечение.

Рис. 4. Рисунок к задаче 2.Решение задачи 2

Рассмотрим теперь случай, когда NP параллельна BC . Если прямая NP параллельна какой-нибудь прямой, например, прямой ВС из плоскости АВС , то прямая NP параллельна всей плоскости АВС .

Искомая плоскость сечения проходит через прямую NP , параллельную плоскости АВС , и пересекает плоскость по прямой МQ . Значит, линия пересечения МQ параллельна прямой NP . Получаем, NPQМ - искомое сечение.

Точка М лежит на боковой грани А D В тетраэдра АВС D . Постройте сечение тетраэдра плоскостью, которое проходит через точку М параллельно основанию АВС .

Рис. 5. Рисунок к задаче 3 Построить сечение тетраэдра плоскостью

Решение:
Секущая плоскость φ параллельна плоскости АВС по условию, значит, эта плоскость φ параллельна прямым АВ , АС , ВС .
В плоскости АВ D через точку М проведем прямую PQ параллельно АВ (рис. 5). Прямая PQ лежит в плоскости АВ D . Аналогично в плоскости АС D через точку Р проведем прямую РR параллельно АС . Получили точку R . Две пересекающиеся прямые PQ и РR плоскости РQR соответственно параллельны двум пересекающимся прямым АВ и АС плоскости АВС , значит, плоскости АВС и РQR параллельны. РQR - искомое сечение. Задача решена.

Дан тетраэдр АВС D . Точка М - точка внутренняя, точка грани тетраэдра АВ D . N - внутренняя точка отрезка D С (Рис. 6.). Построить точку пересечения прямой NM и плоскости АВС .

Рис. 6. Рисунок к задаче 4

Решение:
Для решения построим вспомогательную плоскость D МN . Пусть прямая D М пересекает прямую АВ в точке К (Рис. 7.). Тогда, СК D - это сечение плоскости D МN и тетраэдра. В плоскости D МN лежит и прямая NM , и полученная прямая СК . Значит, если NM не параллельна СК , то они пересекутся в некоторой точке Р . Точка Р и будет искомая точка пересечения прямой NM и плоскости АВС .

Рис. 7. Рисунок к задаче 4. Решение задачи 4

Дан тетраэдр АВС D . М - внутренняя точка грани АВ D . Р - внутренняя точка грани АВС . N - внутренняя точка ребра D С (Рис. 8.). Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М , N и Р .

Рис. 8. Рисунок к задаче 5 Построить сечение тетраэдра плоскостью

Решение:
Рассмотрим первый случай, когда прямая MN не параллельна плоскости АВС . В прошлой задаче мы нашли точку пересечения прямой MN и плоскости АВС . Это точка К , она получена с помощью вспомогательной плоскости D МN , т.е. мы проводим D М и получаем точку F . Проводим СF и на пересечении MN получаем точку К .

Рис. 9. Рисунок к задаче 5. Нахождение точки К

Проведем прямую КР . Прямая КР лежит и в плоскости сечения, и в плоскости АВС . Получаем точки Р 1 и Р 2 . Соединяем Р 1 и М и на продолжении получаем точку М 1 . Соединяем точку Р 2 и N . В результате получаем искомое сечение Р 1 Р 2 NМ 1 . Задача в первом случае решена.
Рассмотрим второй случай, когда прямая MN параллельна плоскости АВС . Плоскость МNР проходит через прямую МN параллельную плоскости АВС и пересекает плоскость АВС по некоторой прямой Р 1 Р 2 , тогда прямая Р 1 Р 2 параллельна данной прямой MN (Рис. 10.).

Рис. 10. Рисунок к задаче 5. Искомое сечение

Теперь проведем прямую Р 1 М и получим точку М 1 . Р 1 Р 2 NМ 1 - искомое сечение.

Итак, мы рассмотрели тетраэдр, решили некоторые типовые задачи на тетраэдр. На следующем уроке мы рассмотрим параллелепипед.

1. И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М. : Мнемозина, 2008. - 288 с. : ил. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни)

2. Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений

3. Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е издание, стереотип. - М. : Дрофа, 008. - 233 с. :ил. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики

Дополнительные веб-ресурсы

2. Как построить сечение тетраэдра. Математика ().

3. Фестиваль педагогических идей ().

Сделай дома задачи по теме "Тетраэдр", как находить ребро тетраэдра, грани тетраэдра, вершины и поверхность тетраэдра

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. Задания 18, 19, 20 стр. 50

2. Точка Е середина ребра МА тетраэдра МАВС . Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки В, С и Е .

3. В тетраэдре МАВС точка М принадлежит грани АМВ, точка Р - грани ВМС, точка К - ребру АС. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, Р, К.

4. Какие фигуры могут получиться в результате пересечения плоскостью тетраэдра?

Урок по теме:

«Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда»

Цели урока

1. Ознакомиться с основами решения задач на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда плоскостью.

2. Выделить виды задач на построение сечений.

3. Выработать навыки решения задач на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда.

4. Формирование пространственного воображения.

Ход урока.

I Организационный момент.

II Проверка домашнего задания.

Ребята, какие геометрические тела мы изучали на последних уроках? (тетраэдр, параллелепипед).

Что называется тетраэдром?

Что называется параллелепипедом?

А теперь проверим устное домашнее задание.

В учебнике на стр. 31 читаем и отвечаем на вопросы 14,15.

14. Существует ли тетраэдр у которого пять углов граней прямые?

(Нет, так как в четырёх треугольниках, образующих, может быть только четыре прямых угла, по одному в каждом не более).

15. Существует ли параллелепипед, у которого:

а ) Только одна грань прямоугольник. (Нет, так как противоположные грани параллелепипеда равны).

б ) Только две смежные грани ромбы. (Нет, ромбами могут быть только противоположные грани).

в ) Все углы грани острые. (Нет, у параллелограмма есть как острые, так и тупые углы, а каждая грань параллелограмм).

г ) Все углы грани прямые. (Да, в прямоугольном параллелепипеде).

д ) Число всех острых углов грани не равно числу всех тупых углов грани. (Нет, острых и тупых углов поровну в каждой грани).

III Объяснение новой темы.

Теперь переходим к новой теме. Запишите тему урока. Цель сегодняшнего урока:

1. Ознакомиться с основами решения задач на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда плоскостью.

2. Выделить виды задач на построение сечений.

3. Выработать навыки решения задач на построение сечений тетраэдра и параллелепипеда.

4. Формирование пространственного воображения.

Итак, для решения многих геометрических задач, связанных с тетраэдром и параллелепипедом, полезно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями.

Что же мы будем понимать под секущей плоскостью ? В учебнике на стр. 27 найдём ответ на этот вопрос.

Секущей плоскостью называют любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника.

Следующее понятие – это сечение. И снова за помощью обращаемся к учебнику. А теперь посмотрите, как выглядит точное определение сечения.

v Где располагаются стороны многоугольника, который является сечением?

v Где располагаются вершины многоугольника, который является сечением?

А теперь ответим на вопрос. Что значит построить сечение многогранника плоскостью. Таким образом, мы в каждой грани будем строить отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани.

Чтобы грамотно построить сечение надо уметь применять различные теоремы и свойства. Ответим на вопрос.

Какие из данных утверждений могут пригодиться при построении сечений?

1. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, содержащей эту точку.

2. Если прямая, лежащая, в одной из пересекающихся плоскостей, пересекает другую плоскость, то она пересекает линию пересечения плоскостей.

3. Если две параллельные плоскости, пересечены третьей, то линии пересечения плоскостей параллельны.

4. Секущая, плоскость пересекает грань многогранника по ломаной линии.

5. В сечении параллелепипеда плоскостью, может получиться:

v отрезок

v треугольник

v четырёхугольник

v пятиугольник

v шестиугольник

v Семиугольник

А теперь вспомним способы задания плоскости:

При построении сечений важно знать:

https://pandia.ru/text/78/131/images/image003_53.jpg" width="559" height="288 src=">

https://pandia.ru/text/78/131/images/image005_39.jpg" width="564" height="355 src=">

Теперь в учебнике рассмотрим основные задачи на построение сечений. И так, задача первая, где необходимо построить сечение тетраэдра по трём точкам, принадлежащим секущей, плоскости, причём две из них лежат в одной плоскости, а третья лежит в другой плоскости.
.jpg" width="588" height="359 src=">

Решение задач. Проверка правильности решения с помощью слайдов.

V Итог урока.

Представьте ситуацию:

Ваш одноклассник заболел и пропустил уроки, на которых проходили тему «Построение сечений многогранников». Вам нужно по телефону объяснить эту тему. Сформулируйте пошаговый алгоритм.

https://pandia.ru/text/78/131/images/image015_14.jpg" width="600" height="284 src=">

А сейчас я проведу тестирование. Вам необходимо выполнить три задания в течение трёх минут. Выберите и выпишите номер рисунков, на которых изображено верные сечения тетраэдра и параллелепипеда, а так же верный рисунок.

VI Домашнее задание . n.14, вопрос 16, № 000,106. Придумать и решить одну задачу на построение сечения тетраэдра или параллелепипеда.

Тема: « Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда».

Предмет : геометрия

Класс: 10

Используемые педагогические технологии:

технология проектного обучения, информационные технологии .

Тема урока : Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда

Тип урока : урок закрепления и развития знаний.

Формы работы на уроке : фронтальная, индивидуальная

Список используемых источников и программно-педагогических средств:

1. . Геометрия. 10-11 классы,- М: Просвещение, 2006г.

2. . Задачи на развитие пространственных представлений. Книга для учителя. - М.: Просвещение, 1991.

3. Г. Прокопенко. Методы решения задач на построение сечений многогранников. 10 класс . ЧПГУ, г. Челябинск. Еженедельная учебно-методическая газета "Математика" 31/2001.

4. А. Мордкович. Семинар девятый. Тема: Построение сечений многогранников (позиционные задачи). Еженедельное приложение к газете "Первое сентября". Математика. 3/94.

5. Мультимедийный интерактивный курс "Открытая математика. Стереометрия." Физикон

6. «Живая геометрия»

Образовательные:

Проверить знание теоретического материала о многогранниках (тетраэдр, параллелепипед).

Продолжить формирование умения анализировать чертеж, выделять главные элементы при работе с моделью многогранника, намечать ход решения задачи, предвидеть конечный результат.

Отработать навыки решения задач на построение сечений многогранников.

Развивать графическую культуру и математическую речь.

Формировать навыки использования компьютерных технологий на уроках геометрии.

Развивающие:

Развивать познавательный интерес учащихся.

Формировать и развивать у учащихся пространственное воображение.

Воспитательные:

Воспитывать самостоятельность, аккуратность, трудолюбие.

Воспитывать умения работать индивидуально над задачей.

Воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов.

Техническое обеспечение:

Компьютер с установленными программами «Живая геометрия», Power Point, мультимедиапроектор.

Раздаточный материал:

Бланки-карточки с заданиями для практической работы, бланки-карточки с ответами для взаимопроверки, опоры – памятки, презентация по теме «Аксиомы стереометрии, следствия из них», презентация ученика «Построение сечений параллелепипеда», цветные карандаши.

Структура урока.

	Приветствие. Организационный момент.
	Постановка цели и задачи урока.
	Повторение изученного материала с использованием презентации.
	Актуализация опорных знаний.
	Практическая работа на построение сечений.
	Взаимопроверка.
	Домашнее задание
	Рефлексия.

Ход урока:

1)Приветствие. Организационный момент.

2) Постановка цели и задачи урока.

Задачи на построение сечений в многогранниках занимают заметное место в курсе стереометрии. Их роль обусловлена тем, что решение этого вида задач способствует усвоению аксиом стереометрии, следствий из них, развитию пространственных представлений и конструктивных навыков. Умение решать задачи на построение сечений является основой изучения почти всех тем курса стереометрии. При решении многих стереометрических задач используют сечения многогранников плоскостью.

На предыдущих уроках мы с вами познакомились с аксиомами стереометрии, следствиями из аксиом и с теоремами о параллельности прямых и плоскостей в пространстве. Мы рассмотрели алгоритмы построения несложных сечений куба, тетраэдра и параллелепипеда. Эти сечения, как правило, задавались точками, расположенными на ребрах или гранях многогранника. Сегодня на уроке мы с вами повторим геометрические утверждения, позволяющие сформулировать правила построения сечений. А также научимся применять эти знания при решении задачи на построение сечения тетраэдра и параллелепипеда плоскостью, проходящей через три данные точки, такие, что никакие три из этих точек не лежат в одной грани.

3) Повторение изученного материала с использованием презентации.

Давайте повторим некоторые вопросы теории.

(презентация 1, слайды 1-10)

4) Актуализация опорных знаний.

Презентация ученика «Построение сечений параллелепипеда».

Теперь давайте вспомним алгоритм построения сечения тетраэдра на примере двух задач (презентация 1, слайды 11-12). (построение комментируется пошагово учителем).

Пащенко Алексей с помощью своей презентации напомнит нам об алгоритмах построения сечений параллелепипеда (презентация 2, слайды 1-5) (ученик демонстрирует слайды, комментируя последовательность построения)

https://pandia.ru/text/78/168/images/image002_167.gif" width="327" height="244">