Оценка статистических характеристик случайных данных. Анализ подобия распределений. Точечные статистические оценки

Пусть требуется изучить количественный признак генеральной совокупности. Допустим, что из теоретических соображений удалось установить, какое именно распределение имеет признак. Возникает задача оценки параметров, которыми определяется это распределение. Например, если наперед известно, что изучаемый признак распределен в генеральной совокупности по нормальному закону, то необходимо оценить математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение, т. к. эти два параметра полностью определяют нормальное распределение. Если имеются основания считать, что признак имеет распределение Пуассона, то необходимо оценить параметр , которым это распределение определяется. Обычно имеются лишь данные выборки, полученные в результате наблюдений: , , ... , . Через эти данные и выражают оцениваемый параметр. Рассматривая , , ... , как значения независимых случайных величин , , ... , , можно сказать, что найти статистическую оценку неизвестного параметра теоретического распределения - это значит найти функцию от наблюдаемых случайных величин, которая и дает приближенное значение оцениваемого параметра.

Итак, статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин. Статистическая оценка неизвестного параметра генеральной совокупности одним числом называется точечной . Ниже рассматриваются следующие точечные оценки: смещенные и несмещенные, эффективные и состоятельные.

Для того, чтобы статистические оценки давали хорошие приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определенным требованиям. Укажем эти требования. Пусть есть статистическая оценка неизвестного параметра теоретического распределения. Допустим, что по выборке объема найдена оценка . Повторим опыт, т. е. извлечем их генеральной совокупности другую выборку того же объема и по ее данным найдем оценку и т. д. Получим числа , , ... , , которые будут различны между собой. Таким образом, оценку можно рассматривать как случайную величину, а числа , , ... , - как ее возможные значения.

Если оценка дает приближенное значение с избытком, тогда найденное по данным выборок число () будет больше истинного значения . Следовательно, и математическое ожидание (среднее значение) случайной величины будет больше, чем , т. е. . Если дает приближенное значение с недостатком, то .

Таким образом, использование статистической оценки, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру, привело бы к систематическим ошибкам. Поэтому нужно потребовать, чтобы математическое ожидание оценки было равно оцениваемому параметру. Соблюдение требования устраняет систематические ошибки.

Несмещенной называют статистическую оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру , т. е. .

Смещенной называют статистическую оценку , математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Однако ошибочно считать, что несмещенная оценка всегда дает хорошее приближение оцениваемого параметра. Действительно, возможные значения могут быть сильно рассеяны вокруг своего среднего значения, т. е. дисперсия величины может быть значительной. В этом случае найденная по данным одной выборки оценка, например, , может оказаться весьма удаленной от своего среднего значения , а значит, и от самого оцениваемого параметра . Приняв в качестве приближенного значения , мы допустили бы большую ошибку. Если потребовать, чтобы дисперсия величины была малой, то возможность допустить большую ошибку будет исключена. Поэтому к статистической оценке предъявляются требования эффективности.

Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки ) имеет наименьшую возможную дисперсию. При рассмотрении выборок большого объема к статистическим оценкам предъявляется требование состоятельности.

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Например, если дисперсия несмещенной оценки при стремится к нулю, то такая оценка оказывается и состоятельной.

Рассмотрим вопрос о том, какие выборочные характеристики лучше всего в смысле несмещенности, эффективности и состоятельности оценивают генеральную стреднюю и дисперсию.

Пусть изучается дискретная генеральная совокупность относительно количественного признака. Генеральной средней называется среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности. Она может быть вычислена по формулам или , где - значения признака генеральной совокупности объема , - соответствующие частоты, причем .

Пусть из генеральной совокупности в результате независимых наблюдений над количественным признаком извлечена выборка объема со значениями признака . Выборочной средней называют среднее арифметическое выборочной совокупности. Она может быть вычислена по формулам или , где - значения признака в выброчной совокупности объема , - соответствующие частоты, причем .

Если генеральная средняя неизвестна и требуется оценить ее по данным выборки, то в качестве оценки генеральной средней принимают выборочную среднюю, которая является несмещенной и состоятельной оценкой. Отсюда следует, что если по нескольким выборкам достаточно большого объема из одной и той же генеральной совокупности будут найдены выборочные средние, то они будут приближенно равны между собой. В этом состоит свойство устойчивости выборочных средних .

Заметим, что если дисперсии двух совокупностей одинаковы, то близость выборочных средних к генеральным не зависит от отношения объема выборки к объему генеральной совокупности. Она зависит от объема выборки: чем объем выборки больше, тем меньше выборочная средняя отличается от генеральной.

Для того, чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят сводную характеристику - генеральную дисперсию. Генеральной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной совокупности от их среднего значения , которая вычисляется по формулам: , или .

Для того, чтобы охарактеризовать рассеяние наблюденных значений количественного признака выборки вокруг своего среднего значения , вводят сводную характеристику - выброрчную дисперсию. Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонений наблюденных значений признака от их среднего значения , которая вычисляется по формулам: , или .

Кроме дисперсии, для характеристики рассеяния значений признака генеральной (выборочной) совокупности вокруг своего среднего значения пользуются сводной характеристикой - средним квадратическим отклонением. Генеральным средним квадратическим отклонением называют квадратный корень из генеральной дисперсии: . Выборочным средним квадратическим отклонением называют квадратный корень из выборочной дисперсии:

Пусть из генеральной совокупности в результате независимых наблюдений над количественным признаком извлечена выборка объема . Требуется по данным выборки оценить неизвестную генеральную дисперсию . Если в качестве оценки генеральной дисперсии принять выборочную дисперсию, то эта оценка будет приводить к систематическим ошибкам, давая заниженное значение генеральной дисперсии. Объясняется это тем, что выборочная дисперсия является смещенной оценкой ; другими словами, математическое ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой генеральной дисперсии, а равно .

Легко исправить выборочную дисперсию так, чтобы ее математическое ожидание было равно генеральной дисперсии. Достаточно для этого умножить на дробь . В результате получим исправленную дисперсию, которую обычно обозначают через . Исправленная дисперсия будет несмещенной оценкой генеральной дисперсии: .

2. Интервальные оценки .

Наряду с точечным оцениванием статистическая теория оценивания параметров занимается вопросами интервального оценивания. Задачу интервального оценивания можно сформулировать следующим образом: по данным выборки построить числовой нитервал, относительно которого с заранее выбранной вероятностью можно сказать, что внутри этого интервала находится оцениваемый параметр. Интервальное оценивание особенно необходимо при малом числе наблюдений, когда точечная оценка в значительной мере случайна, следовательно, мало надежна.

Доверительным интервалом для параметра называется такой интервал, относительно которого можно с заранее выбранной вероятностью , близкой к единице, утверждать, что он содержит неизвестное значение параметра , т. е. . Чем меньше для выбранной вероятности число , тем точнее оценка неизвестного параметра . И наоборот, если это число велико, то оценка, произведенная с помощью данного интервала, мало пригодна для практики. Так как концы доверительного интервала зависят от элементов выборки, то значения и могут меняться от выборки к выборке. Вероятность принято называть доверительной вероятностью (надежностью). Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве берут число, близкое к единице. Выбор доверительной вероятности не является математической задачей, а определяется конкретной решаемой проблемой. Наиболее часто задают надежность, равную ; ; .

Приведем без вывода доверительный интервал для генеральной средней при известном значении среднего квадратического отклонения при условии, что случайная величина (количественный признак ) распределена нормально:

где - наперед заданное число, близкое к единице, а значения функции приведены в приложении 2.

Смысл этого соотношения заключается в следующем: с надежностью можно утверждать, что доверительный интервал () покрывает неизвестный параметр , точность оценки равна . Число определяется из равенства , или . По таблице (приложение2) находят аргумент , которому соответствует значение функции Лапласа, равное .

Пример 1 . Случайная величина имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением . Найти доверительные интервалы для оценки неизвестной генеральной средней по выборочным средним, если объем выборок и задана надежность оценки .

Решение. Найдем . Из соотношения получим, что . По таблице (приложение 2) находим . Найдем точность оценки . Доверительные интервалы будут таковы: . Например, если , то доверительный интервал имеет следующие доверительные границы: ; . Таким образом, значения неизвестного параметра , согласующиеся с данными выборки, удовлетворяют неравенству .

Доверительный интервал для генеральной средней нормального распределения признака при неизвестном значении среднего квадратического отклонения задается выражением .

Отсюда следует, что с надежностью можно утверждать, что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр .

Имеются готовые таблицы (приложение 4), пользуясь которыми, по заданным и находят вероятность , и обратно, по заданным и можно найти .

Пример 2 . Количественный признак генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема найдена выборочная средняя и исправленное среднеквадратическое отклонение . Оценить неизвестную генеральную среднюю при помощи доверительного интервала с надежностью .

Решение. Найдем . Пользуясь таблицей (приложение 4) по и находим: . Найдем доверительные границы:

Итак, с надежностью неизвестный параметр заключен в доверительном интервале .

3. Понятие статистической гипотезы. Общая постановка задачи проверки гипотез .

Проверка статистических гипотез тесно связана с теорией оценивания параметров. В естествознании, технике, экономике часто для выяснения того или иного случайного факта прибегают к высказыванию гипотез, которые можно проверить статистически, т. е. опираясь на результаты наблюдений в случайной выборке. Под статистическими гипотезами подразумеваются такие гипотезы, которые относятся или к виду, или к отдельным параметрам распределения случайной величины. Так, например, статистической является гипотеза о том, что распределение производительности труда рабочих, выполняющих одинаковую работу в одинаковых условиях, имеет нормальный закон распределения. Статистической будет также гипотеза о том, что средние размеры деталей, производимые на однотипных, параллельно работающих станках, не различаются между собой.

Статистическая гипотеза называется простой , если она однозначно определяет распределение случайной величины , в противном случае гипотеза называется сложной. Например, простой гипотезой является предположение о том, что случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице. Если высказывается предположение, что случайная величина имеет нормальное распределение с дисперсией, равной единице, а математическое ожидание - число из отрезка , то это сложная гипотеза. Другим примером cложной гипотезы является предположение о том, что непрерывная случайная величина с вероятностью принимает значение из интервала , в этом случае распределение случайной величины может быть любым из класса непрерывных распределений.

Часто распределение величины известно, и по выборке наблюдений необходимо проверить предположения о значении параметров этого распределения. Такие гипотезы называются параметрическими .

Проверяемая гипотеза называется нулевой гипотезой и обозначается . Наряду с гипотезой рассматривают одну из альтернативных (конкурирующих) гипотез . Например, если проверяется гипотеза о равенстве параметра некоторому заданному значению , т. е. : , то в качестве альтернативной гипотезы можно рассмотреть одну из следующих гипотез: : ; : ; : ; : , где - заданное значение, . Выбор альтернативной гтпотезы определяется конкретной формулировкой задачи.

Правило, по которому принимается решение принять или отклонить гипотезу , называется критерием . Так как решение принимается на основе выборки наблюдений случайной величины , необходимо выбрать подходящую статистику, называемую в этом случае статистикой критерия . При проверке простой параметрической гипотезы : в качестве статистики критерия выбирают ту же статистику, что и для оценки параметра .

Проверка статистической гипотезы основывается на принципе, в соответствии с которым маловероятные события считаются невозможными, а события, имеющие большую вероятность, считяются достоверными. Этот принцип можно реализовать следующим образом. Перед анализом выборки фиксируется некоторая малая вероятность , называемая уровнем значимости . Пусть - множество значений статистики , а - такое подмножество, что при условии истинности гипотезы вероятность попадания статистики критерия в равна , т. е. .

Обозначим через выборочное значение статистики , вычисленное по выборке наблюдений. Критерий формулируется следующим образом: отклонить гипотезу , если ; принять гипотезу , если . Критерий, основанный на использовании заранее заданного уровня значимости, называют критерием значимости . Множество всех значений статистики критерия , при которых принимается решение отклонить гипотезу , называется критической областью ; область называется областью принятия гипотезы .

Уровень значимости определяет размер критической области . Положение критической области на множестве значений статистики зависит от формулировки альтернативной гипотезы . Например, если проверяется гипотеза : , а альтернативная гипотеза форимулируется как : (), то критическая область размещается на правом (левом) “хвосте” распределения статистики , т. е. имеет вид неравенства: (), где и - те значения статистики , которые принимаются с вероятностями соответственно и при условии, что верна гипотеза . В этом случае критерий называется односторонним , соответственно правосторонним и левосторонним. Если альтернативная гипотеза формулируется как : , то критическая область размещается на обоих “хвостах” распределения , т. е. определяется совокупностью неравенств и ; в этом случае критерий называется двухсторонним .

На рис. 30 показано расположение критической области для различных альтернативных гипотез. Здесь - плотность распределеиня статистики критерия при условии, что верна гипотеза , - область принятия гипотезы, .

Таким образом, проверка параметрической статистической гипотезы при помощи критерия значимости может быть разбита на следующие этапы:

1) сформулировать проверяемую () и альтернативную () гипотезы;

2) назначить уровень значимости ; как не согласующуюся с результатами наблюдений; если , то принять гипотезу , т. е. считать, что гипотеза не противоречит результатам наблюдений.

Обычно при выполнении п. п. 4 - 7 используют статистику, квантили которых табулированы: статистику с нормальным распределением, статистику Стьюдента, статистику Фишера.

Пример 3 . По паспортным данным автомобильного двигателя расход топлива на 100 км пробега составляет 10 л . В результате изменения конструкции двигателя ожидается, что расход топлива уменьшится. Для проверки проводятся испытания 25 случайно отобранных автомобилей с модернизированным двигателем, причем выборочное среднее расходов топлива на 100 км пробега по результатам испытаний составило 9,3 л . Предположим, что выборка расходов топлива получена из нормально распределенной генеральной совокупности с средним и дисперсией. При условии, что верна гипотеза критической области для исходной статистики, т. е. равна уровню значимости. Найти вероятности ошибок первого и второго рода для критерия с такой критической областью. имеет нормальное распределение с математическим ожиданием, равным и дисперсией, равной . Вероятность ошибки второго рода найдем по формуле (11.2):

Следовательно, в соответствии с принятым критерием 13,6% автомобилей, имеющих расход топлива 9 л на 100 км пробега, классифицируются как автомобили, имеющие расход топлива 10 л .

4. Теоретические и эмпирические частоты. Критерии согласия.

Эмпирические частоты - частоты, полученные в результате опыта (наблюдения). Теоретические частоты расcчитываются по формулам. Для нормального закона распределения их можно найти следующим образом:

, (11.3)

Вопросы статистической оценки связывают в единое целое такие проблемные аспекты математической статистики, как научная методология, случайные величины, статистические распределения и др. Для любой выборки присущи ошибки, обусловленные неполнотой охвата единиц, ошибками измерения и тому подобными причинами. Такие ошибки в реальной жизни придают каждой гипотезе (в частности, сформулированной на базе экономических выводов) случайный, стохастический характер. Независимо от количества переменных, предусмотренных теоретическими гипотезами, делается предположение, что влияние различных видов ошибок может быть достаточно точно описан с помощью только одной составляющей. Такой методологический подход позволяет ограничиться одномерным распределением вероятностей при одновременном оценивании нескольких параметров.

Статистическая оценка - это один из двух типов статистического суждения (второй тип - проверка гипотез). Она представляет собой особого рода метод суждения о числовых значения характеристик (параметров) распределения генеральной совокупности по данным выборки из этой совокупности. То есть, имея результаты выборочного наблюдения, мы пытаемся оценить (с наибольшей точностью) значения определенных параметров, от которых зависит распределение признака (сменной), которая нас интересует, в генеральной совокупности. Поскольку выборка включает только часть единиц генеральной совокупности (иногда очень малое их число), существует риск допустить ошибку. Несмотря на уменьшение такого риска с увеличением числа единиц наблюдения, он все же имеет место при выборочном наблюдении. Отсюда, принятым по результатам выборки решением предоставляют вероятностный характер. Но было бы неверным рассматривать статистические суждения только с позиций вероятностей. Такой подход не всегда оказывается достаточным для построения правильных теоретических предположений относительно параметров генеральной совокупности. Часто нужен еще ряд дополнительных суждений, которые бы обеспечили более глубокое обоснование. Например, нужно оценить с возможно большим приближением значения средней численности квалифицированных рабочих на предприятиях региона. При этом оценивается средняя арифметическая переменной х из генеральной совокупности, которая имеет нормальное распределение. Получив выборку по данному признаку в количестве п единиц, необходимо решить вопрос: какую величину по данным выборки необходимо принять как наиболее близкую к средней в генеральной совокупности? Таких величин, математическое ожидание которых равна искомому параметру (или близкое к нему), можно привести несколько: а) средняя арифметическая; б) мода; в) медиана; г) средняя, исчисленная по размаху вариации, и т.д.

С вероятностной точки зрения каждой из названных выше величин можно считать дают наилучшее приближение к искомому параметра генеральной совокупности (х), поскольку математическое ожидание каждой из этих функций (особенно для больших выборок) равна генеральной средней. Обусловлено такое предположение тем, что при многократном повторении выборки из той же генеральной совокупности будет получен "в среднем" верный результат.

Правильность "в среднем" объясняется равенством повторений положительных и отрицательных отклонений возникающих ошибок оценки генеральной средней, то есть средняя ошибка оценки будет равна нулю.

В практических условиях, как правило, организуют одну выборку, поэтому исследователя интересует вопрос о более точную оценку искомого параметра по результатам конкретной выборки. Для решения такой задачи, кроме выводов, которые вытекают непосредственно из отвлеченного вычисления вероятностей, нужны дополнительные правила мотивации наилучшего приближения оценки к искомому параметра генеральной совокупности.

Существует достаточное количество способов оценки констант по выборочным наблюдениям. Какие из них лучшие в решении конкретных задач исследования - занимается теория статистического оценивания. Она исследует условия, которым должна подчиняться та или иная оценка, ориентирует на оценки, более предпочтительны при данных обстоятельствах. Теория оценок указывает на превосходство одной оценки по сравнению с другой.

Как известно, информация, полученная на основе выборки, не носит категорического характера в заключении. Если, например, изучаемых 100 голов животных по их заболевания здоровыми оказались 99, то существует вероятность, что одно животное, которое осталось необследованной именно носит в себе вирус предполагаемого заболевания. Поскольку это маловероятно, делается вывод об отсутствии данного заболевания. В большинстве случаев такой вывод полностью оправдывается.

Руководствуясь подобными выводами в практической деятельности, экспериментатор (исследователь) опирается не на достоверность информации, а только на ее вероятность.

Другая сторона выборочного наблюдения, как уже отмечалось, решает задачи возможно более объективного определения степени надежности получаемых выборочных оценок. Решению этой задачи пытаются предоставить как можно более точный вероятностный выражение, то есть речь идет об определении степени точности оценки. Здесь исследователь определяет границы возможного расхождения между оценкой, полученной при выборке, и действительным значением ее величины в генеральной совокупности.

Точность оценки обусловлено способом ее расчета по данным выборки и способом отбора единиц в выборочную совокупность.

Способ получения оценок предполагает любую вычислительную процедуру (метод, правило, алгебраическую формулу). Это приоритет теории статистического оценивания. Способы отбора ведут к вопросам техники осуществления выборочного исследования.

Изложенное выше позволяет дать определение понятию "статистическая оценка".

Статистическая оценка - это приближенное значение искомого параметра генеральной совокупности, которое получено по результатам выборки и обеспечивает возможность принятия обоснованных решений о неизвестных параметры генеральной совокупности.

Предположим, что ^ "- статистическая оценка неизвестного параметра ^ теоретического распределения. По многократно осуществляемыми одинакового

Объем выборки из генеральной совокупности найдены оценки и 2 ^ ""п,

имеющих разные значения. Поэтому оценку ^ ", можно рассматривать как

случайную величину, а +17 две, 3 ~ "п - как ее возможные значения. Как случайная величина, она характеризуется определенной функцией плотности вероятностей. Поскольку эта функция обусловлена результатом выборочного наблюдения (эксперимента), то ее называют выборочным распределением. Такая функция описывает плотность вероятности для каждой из оценок, используя определенное число выборочных

наблюдений. Если предположить, что, статистическая оценка ^ ", - это алгебраическая функция от определенного набора данных и такой набор будет получен при осуществлении выборочного наблюдения, то в

общем виде оценка получит выражение: ® п = f (Xl.X2, ^ 3, ... Х т).

По окончании выборочного обследования данная функция уже не является оценкой общего вида, а принимает - конкретное значение, то есть становится количественной оценке (числом). Иначе говоря, из вышеприведенного выражения функции следует, что любой из показателей, характеризующих результаты выборочного наблюдения, можно считать оценкой. Выборочная средняя является оценкой генеральной средней. Рассчитана по выборке дисперсия или вычислено с нее значение среднего квадратического отклонения являются оценками соответствующих характеристик генеральной совокупности и т.д

Как уже отмечалось, расчет статистических оценок не гарантирует исключения ошибок. Суть заключается в том, что последние не должны быть систематическими. Наличие их должно носить случайный характер. Рассмотрим методологическую сторону этого положения.

Допустим, оценка ^ "дает неточное значение оценки ^ генеральной совокупности с недостатком. В этом случае каждое вычислено значение = 1,2,3, ..., п) будет меньше действительное значение величины $.

По этой причине математическое ожидание (среднее значение) случайной величины в будет меньше, чем в, то есть (М (^ п. И, наоборот, если дает оценку с избытком, то и математическое ожидание

случайной ^ "станет больше, чем $.

Отсюда следует, что использование статистической оценки, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру, приводит к систематическим погрешностям, то есть до неслучайных ошибок, которые искривляют результаты измерений в одну сторону.

Возникает естественное требование: математическое ожидание оценки ^ "должно равняться оцениваемому параметру. Соблюдение этого требования не устраняет ошибок в целом, поскольку выборочные значения оценки могут быть больше или меньше действительного значения оценки генеральной совокупности. Но ошибки в один и другую сторону от значений ^ будут встречаться (согласно теории вероятностей) с одинаковой частотой. Следовательно, соблюдение этого требования, математическое ожидание выборочной оценки должно равняться оцениваемому параметру, исключает получение систематических (неслучайных) ошибок, то есть

М (в) = 6.

Выбор статистической оценки, которая дает наилучшее приближение оцениваемого параметра, представляет собой важную задачу в теории оценивания. Если известно, что распределение исследуемой случайной величины в генеральной совокупности соответствует закону нормального распределения, то по выборочным данным необходимо оценить математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение. Объясняется это тем, что названные две характеристики полностью определяют основы, на которых построено нормальное распределение. Если исследуемая случайная величина распределена по закону Пуассона, оценивают параметр ^, поскольку он определяет это распределение.

Математическая статистика различает такие методы получения статистических оценок по выборочным данным: метод моментов, метод максимума правдоподобия.

При получении оценок методом моментов моменты генеральной совокупности заменяются моментами выборочной совокупности (вместо вероятностей при весе используют частоты).

Чтобы статистическая оценка давала "наилучшее приближение" к генеральной характеристики, она должна иметь ряд свойств. О них речь пойдет ниже.

Возможность выбора наилучшей оценки обусловлено знанием их основных свойств и умением классифицировать оценки по этим свойствам. В математической литературе "свойства оценок" иногда называют "требования к оценкам" или "критерии оценок" .В основных свойств статистических оценок относятся: Несмещенность, эффективность, способность, достаточность.

Если принять, что выборочная средняя (~) и выборочная дисперсия

(Ств) являются оценками соответствующих генеральных характеристик (^), то есть их математическим ожиданием, учитываем, что при большом количестве

единиц выборки названы характеристики (~) будут приближены к их математических ожиданий. Если же число единиц выборки небольшой, эти характеристики могут значительно отличаться от соответствующих математических ожиданий.

Если среднее значение выборочных характеристик, выбранных в качестве оценки, соответствует значению генеральной характеристики, оценка называется несмещенной. Доказательством того, что математическое ожидание выборочной средней равна генеральной средней (м (х) = х), свидетельствует о том, что величина ~ является несмещенной генеральной

средней. Иначе обстоит дело с избирательной дисперсией (o). ее

М (СТ 2) = - о-2. .

математическое ожидание п, не равна генеральной

дисперсии. Итак, а ч является смещенной оценкой а ". Чтобы устранить систематическую ошибку и получить несмещенную оценку, выборочную

дисперсию умножают на поправку п - 1 (это следует из образования

в 2 _ 2 п п - 1 "п -1

приведенного выше уравнения: п).

Таким образом, при немногочисленной выборке дисперсия равна:

2 Цх, - ~) 2 п Е (х и - ~) 2

сг в = х - = -.

п п - 1 п -1

Дробь (п - 1) называют поправкой Бесселя. Математик Бесселя первого установил, что выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии и применил указанную поправку для корректировки

оценок. Для малых выборок поправка (п - 1) значительно отличается от 1. С увеличением числа единиц наблюдения она быстро приближается к 1. При п <> 50 разница между оценками исчезает, то есть

° ~ "- .С всего вышесказанного вытекают следующие определения требований несмещенности.

Несмещенной называют статистическую оценку, математическое ожидание которой при любом объеме выборки равен значению

параметра генеральной совокупности, то есть м (^) = 9; м (х) = х.

Категорию "математическое ожидание" изучают в курсе теории вероятностей. Это числовая характеристика случайной величины. Математическое ожидание приближенно равно среднему значению случайной величины. Математическим ожидания дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Допустим, выполнено п исследований, в которых случайная величина х приняла ш 1 раз значение ш 2 раз значение Ш и раз значение Х к. При этом Ш 1 + Ш 2 + Ш 3 + ... + Ш к = п. Тогда сумма всех значений, принятых х, равна

х 1 ш 1 + х 2 ш 2 + х 3 ш 3 + ... + х к ш к

Средняя арифметическая этих значений составит:

Х 1 ш 1 + х 2 ш 2 + х 3 ш 3 + ... + х к ш к - ш 1 ^ ш 2 ^ ш 3 ^ ^ ш к

п или 1 п 2 п 3 п 1 п.

Поскольку п - относительная частота ^ значение х ^ п - относительная частота значения х 2 и т.д., приведенное выше уравнение примет вид:

Х = Х 1 № 1 + Х 2 № 2 + Х 3 № 3 + ... + Х к Н> к

При большом количестве выборочных наблюдений относительная частота примерно равна вероятности появления события, то есть

и> 1 = Л; ^ 2 = Щ = ™ к = Рк а потому х 2 х 1 р 1 + х 2 р 2 + Х 3 г. 3 + ... + Х КРК. Тогда

х ~ м (х) вероятностный смысл полученного результата расчетов заключается в том, что математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше выборка) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины [М (х -) = ~ 1.

Критерий несмещенности гарантирует отсутствие систематических ошибок в оценке параметров генеральной совокупности.

Заметим, что выборочная оценка (^) - случайная величина, значение которой может меняться от одной выборки к другой. Мере ее вариации (рассеивания) вокруг математического ожидания параметра генеральной совокупности # характеризует дисперсия ст2 (^).

Пусть в-и В - - две несмещенные оценки параметра ^, то есть М (в ") = 6 и М (д,) = в. Дисперсии их в 1 (в -) и в г ф -). С двух 0 эти нок В Арто отдать предпочтение той, которая имеет меньшее рассеивание вокруг оцениваемого параметра. Если дисперсия оценки ^ "меньше дисперсии

оценки Сп, то за оценку & принимается первая, то есть ^ ".

Несмещенная оценка ^, что имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра ^, вычисленных по выборкам одинакового объема, называется эффективной оценкой. Это - второе свойство (требование) статистических оценок параметров генеральной совокупности. Надо, помнить, что эффективная оценка параметра генеральной совокупности, подчиненной определенному закону распределения, не совпадает с эффективной оценкой параметра второго раздела.

При рассмотрении выборок большого объема статистические оценки должны иметь свойство способности. Оценка способна (применяется также термин "пригодна" или "согласована") означает, что чем больше объем выборки, тем больше вероятность того, что ошибка оценки не превысит сколько угодно малого положительного

числа Е. Оценка 6 параметра ^ называется состоятельной, если она подчиняется закону больших чисел, то есть выполняется следующее равенство:

/ шг | г в-в <Е} = 1.

Как видим, способной называют такую статистическую оценку, которая при п приближается по вероятности к оцениваемому параметра. Другими словами, это значение показателя, полученное по выборке и приближающегося (совпадает по вероятности) вследствие закона больших чисел при увеличении объема выборки к своему математического ожидания. Например, если дисперсия несмещенной оценки при п стремится к нулю, то такая оценка оказывается и состоятельной, поскольку имеет наименьшее возможное дисперсию (при заданном объеме выборки).

Способными оценкам являются:

1) доля признака в выборочной совокупности, то есть частость как оценка доли признака в генеральной совокупности;

2) выборочная средняя как оценка генеральной средней;

3) выборочная дисперсия как оценка генеральной дисперсии;

4) выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса как оценка генеральных коэффициентов.

В литературе по математической статистике почему-то не всегда можно встретить описание четвертой свойства статистических оценок -достатнисть. Оценка достаточное (или исчерпывающая) - это оценка, которая приводит (обеспечивает) полноту охвата всей выборочной информации о неизвестном параметр генеральной совокупности. Таким образом, достаточное оценка включает всю информацию, которая содержится в выборке по исследуемой статистической характеристики генеральной совокупности. Ни одна из рассматриваемых ранее трех оценок не может дать необходимых дополнительных сведений об исследуемом параметр, как достаточное статистическая оценка.

Следовательно, средняя арифметическая выборочная ~ является несмещенной оценкой средней арифметической генеральной х. Фактор несмещенности этой оценки показывает: если с генеральной совокупности взять большое количество случайных выборок, то их средние * <отличались бы от генеральной средней в большую и меньшую сторону одинаково, то есть, свойство несмещенности хорошей оценки также показывает, что среднее значение бесконечно большого числа выборочных средних равно значению генеральной средней.

В симметричных рядах распределения медиана является несмещенной оценкой генеральной средней. А при условии, что численность выборочной совокупности приближается к генеральной (П ~ * N), медиана может быть в таких рядах и состоятельной оценкой генеральной середньои.Що же касается критерия эффективности относительно медианы как оценки средней арифметической генеральной совокупности, можно доказать, что в выборках большого объема среднеквадратичная ошибка медианы (Стме) равен 1,2533 среднеквадратичной ошибки выборочной средней

). То есть Стме *. Поэтому медиана не может быть эффективной оценкой средней арифметической генеральной совокупности, поскольку ее средняя квадратическая ошибка больше средней квадратичной ошибки средней арифметической выборки. К тому же средняя арифметическая удовлетворяет условиям несмещенности и способности, а, следовательно, является лучшей оценкой.

Возможна и такая постановка. Может средняя арифметическая выборки быть несмещенной оценкой медианы в симметричных распределениях совокупности, для которой совпадают значения средней и медианы? И будет выборочная средняя состоятельной оценкой медианы генеральной совокупности? В обоих случаях ответ будет положительным. Для медианы генеральной совокупности (с симметричным распределением) средняя арифметическая выборки является несмещенной и согласованной оценкой.

Помня, что Стме ~ 1,2533ст й, приходим к выводу: средняя арифметическая выборки, а не медиана, более эффективной оценкой медианы исследуемой генеральной совокупности.

Каждая характеристика выборки не обязательно является лучшей оценкой соответствующей характеристики генеральной совокупности. Знание свойств оценок позволяет решать вопрос не только выбора оценок, но и их улучшения. В качестве примера можно рассмотреть случай, когда расчеты показывают, что значения средних квадратичных отклонений нескольких выборок из одной генеральной совокупности во всех случаях оказываются меньше среднего квадратичного отклонения генеральной совокупности, причем величина разницы обусловлена объемом выборки. Умножив значение среднего квадратического отклонения выборки на поправочный коэффициент, получим улучшенную оценку среднего квадратического отклонения генеральной совокупности. За такой поправочный коэффициент используют поправку Бесселя

п а I п

(П - 1), то есть для устранения смещения оценки получают "п - 1 .Такой числовое выражение показывает, что среднее квадратическое отклонение выборки, использовано как оценка, дает заниженное значение параметра генеральной совокупности.

Как известно, статистические характеристики выборочной совокупности является приблизительным оценкам неизвестных параметров генеральной совокупности. Сама оценка может иметь форму одного числа или какой-либо определенной точки. Оценка, которая определяется одним числом, называется точечной. Так, выборочная средняя (~) является несмещенной и наиболее эффективной точечной оценкой генеральной средней (х), а выборочная дисперсия) - смещенной точечной оценкой генеральной

дисперсии () .Если обозначить среднюю ошибку выборочной средней т <> то точечную оценку генеральной средней можно записать в виде х ± т °. Это означает, что ~ - оценка генеральной средней х с ошибкой, равной т ". Понятно, что точечные статистические оценки х и o не должны иметь систематической ошибки в

ooo ~~ o <в 2

сторону завышения или занижения оцениваемых параметров х и. Как было сказано ранее, оценки, которые удовлетворяют такое условие, называются

несмещенными. Что же представляет собой ошибка параметра т "? Это средняя из множества конкретных ошибок:

Точечная оценка параметра генеральной совокупности заключается в том, что с разных возможных выборочных оценок сначала избирается та, которая имеет оптимальные свойства, а затем вычисляется значение этой оценки. Полученное расчетное значение последней рассматривается как наилучшее приближение к неизвестному истинному значению параметра генеральной совокупности. Дополнительные расчеты, связанные с определением возможной ошибки оценки, не всегда обязательные (в зависимости от виришування задач оценки), но, как правило, осуществляются практически всегда.

Рассмотрим примеры определения точечной оценки для средней исследуемых признаков и для их доли в генеральной совокупности.

Пример. Посевы зерновых культур района составляют 20000 га. При 10% -ном выборочном обследовании полей получили такие выборочные характеристики: средняя урожайность - 30 ц с I га, дисперсия урожайности - 4, площадь посевов высокоурожайных культур - 1200 гектаров.

Что знать о величине показателя средней урожайности зерновых культур в районе и которое числовое значение показателя доли (удельного веса) высокоурожайных культур в общей площади зерновых исследуемого

региона? То есть необходимо дать оценку названным параметрам (х, г) в генеральной совокупности. Для расчета оценок имеем:

N = 20000; - = 20000 х 0,1 = 2000; ~ = 30; <т = л / 4; № 2000,

Как известно, избирательная средняя арифметическая является эффективной оценкой

генеральной средней арифметической. Таким образом, можно принять, что

лучшая оценка генерального параметра (^) является 30. Чтобы определить степень

точности оценки необходимо найти среднюю (стандартную) ее ошибку:

иа. п ~ И апреля 2000 ч ППЛ

т = Л - (1--) = - (1--) = 0,04

v п N и2000 2000 ^

Полученная величина ошибки свидетельствует о большой точности оценки. Значение т здесь означает, что при многократном повторении таких выборок ошибка оценки параметра составила бы в среднем 0,04. То есть за точечной

оценке средняя урожайность в хозяйствах района будет х = 30 - 0,04 ц с I га.

Для получения точечной оценки показателя доли посевов высокоурожайных культур зерновых в общей площади зерновых за лучшую оценку может быть принято показатель доли в выборке ¥ = 0,6. Таким образом, можно сказать, что по результатам наблюдений лучшей оценкой искомого показателя структуры будет число 0,6. Уточняя вычисления, следует рассчитать среднюю ошибку этой оценки: т и (1 _ п) и 0.6 (1 - 0.б) (1 = 0,01

v п N v 2000 2000 а

Как видим, средняя ошибка оценки генеральной характеристики равна 0,01.

Полученный результат означает, что если бы многократно повторить выборку с объемом в 2000 га зерновых, средняя ошибка принятой оценки доли (удельного веса) высокоурожайных культур в площади зерновых культур предприятий района была бы ± 0,01. В таком случае Р = 0,6 ± 0,01. В процентном выражении доля высокоурожайных культур в общей площади зерновых района составит в среднем 60 ± I.

Расчеты показывают, что для конкретного случая лучшей оценкой искомого показателя структуры будет число 0,6, а средняя ошибка оценки в той или иной сторону будет примерно равняться 0,01. Как видим, оценка достаточно точна.

Известно несколько способов точечной оценки среднего квадратического отклонения в случаях, когда выборка осуществлена из генеральной совокупности единиц с нормальным распределением и параметр в неизвестен. Простой (наиболее легкой в вычислениях) оценкой является размах вариации (и °) выборки, умноженный на поправочный коэффициент, взятый по стандартным таблицами и который зависит от объема выборки (для малых выборок). Параметр среднего квадратического отклонения в генеральной совокупности можно оценить с помощью вычисленной выборочной дисперсии с учетом числа степеней свободы. Корень квадратный из этой дисперсии дает величину, которая будет использована как оценка генерального среднеквадратичного отклонения).

Используя значение параметра в "вычисляют среднюю ошибку оценки генеральной средней (х ") способом, рассмотренным выше.

Как указывалось ранее, в соответствии с требованием способности уверенность в точности той или иной точечной оценки повышается при увеличении численности выборки. Продемонстрировать это теоретическое положение на примере точечной оценки несколько затруднено. Влияние объема выборки на точность оценки очевиден при исчислении интервальных оценок. О них речь пойдет ниже.

В таблице 39 приведены наиболее часто используемые точечные оценки параметров генеральной совокупности.

Таблица 39

Основные точечные оценки _

Вычисленные различными способами значения оценок могут быть неодинаковы по величине. В этой связи в практических расчетах следует заниматься не последовательным вычислением возможных вариантов, а, опираясь на свойства различных оценок, выбрать одну из них.

При малом количестве единиц наблюдений точечная оценка в значительной мере случайно, следовательно, мало надежная. Поэтому в малых выборках она может сильно отличаться от оцениваемой характеристики генеральной совокупности. Такое положение приводит к грубым ошибкам в выводах, которые распространяются на генеральную совокупность по результатам выборки. По этой причине при выборках малого объема пользуются интервальными оценками.

В отличие от точечной интервальная оценка дает диапазон точек, внутри которого должен находиться параметр генеральной совокупности. Кроме того, в интервальной оценке указывается вероятность, а, следовательно, она имеет важное значение в статистическом анализе.

Интервального называют оценку, которая характеризуется двумя числами - границами интервала, который охватывает (покрывает) оцениваемый параметр. Такая оценка представляет собой некоторый интервал, в котором с заданной вероятностью находится искомый параметр. Центром интервала принимается выборочная точечная оценка.

Таким образом, интервальные оценки является дальнейшим развитием точечного оценивания, когда такая оценка при малом объеме выборки неэффективна.

Задачу интервального оценивания в общем виде можно сформулировать так: по данным выборочного наблюдения необходимо построить числовой интервал, в отношении которого ранее выбранным уровнем вероятности можно утверждать, что в пределах данного интервала находится оцениваемый параметр.

Если взять достаточно большое количество единиц выборки, то, пользуясь теоремой Ляпунова, можно доказать вероятность того, что ошибка выборки не превысит некоторую заданную величину а, то есть

И ~ "*!" А или И № "г. йА.

В частности, эта теорема дает возможность оценивать погрешности приближенных равенств:

- "Р (п и - частота) х" х. п

Если ^ * 2Xз..., х - ~ независимые случайные величины и п, то вероятность их средней (х) находится в пределах от а до 6 и может быть определена уравнениями:

р (а (х (е) 1 е 2 сии,

_а - Е (х); _ в - Е (х) ДЕ ° а

Вероятность Р при этом называют доверительной вероятностью.

Таким образом, доверительной вероятностью (надежностью) оценки генерального параметра по выборочной оценке называют вероятности, с которой осуществляются неравенства:

| ~ Х | <а; | и, ориентир | <д

где а - предельная ошибка оценки, согласно средней и доли.

Границы, в которых с этой заданной вероятностью может находиться генеральная характеристика, называют доверительными интервалами (доверительными границами). А границы этого интервала получили название границ доверия.

Доверительные (или толерантные) границы - это границы, выход за пределы которых данной характеристикой вследствие случайных колебаний имеет незначительную вероятность (Л ^ 0,5; р 2 <0,01; Л <0,001). Понятие "доверительный интервал" введено Дж.Нейман и К.Пирсоном (1950 г.). Это установленный по выборочным данным интервал, который с заданной вероятностью (доверительной вероятностью) охватывает (покрывает) настоящее, но неизвестно для нас значение параметра. Если уровня доверительной вероятности принять значения 0,95, то эта вероятность свидетельствует о том, что при частых приложениях данного способа (метода) вычислений доверительный интервал примерно в 95% случаев будет покрывать параметр. Доверительный интервал генеральной средней и генеральной доли определяется на основе приведенных выше неравенств, из которых

следует, что ~ _А - х - ~ + А; № _А - г. - № + А.

В математической статистике надежность того или иного параметра оценивают по значению трех следующих уровней вероятности (иногда называют "пороги вероятности»): Л = 0,95; ^ 2 = 0,99; Р 3 = 0,999. Вероятности, которыми решено пренебречь, то есть а 1 = 0.05;; а 2 = 0.01; "3 = 0,001 называют уровнями значимости, или уровнями существенности. Из приведенных уровней надежные выводы обеспечивает вероятность Р 3 = 0,999. Каждому уровню доверительной вероятности соответствует определенное значение нормированного отклонения (см. табл. 27). Если нет в распоряжении стандартных таблиц значений интервала вероятностей, то эту вероятность можно вычислить с определенной степенью приближения по формуле:

Р (<) = - = ^ = 1 е "~ й и.

На рисунке 11 заштрихованы те части общей площади, ограниченной нормальной кривой и осью абсцисс, которые соответствуют значению <= ± 1; <= ± 2; <= и 3 и для которых вероятности равны 0,6287, 0,9545; 0,9973. При точечном оценке рассчитывается, как уже известно, средняя ошибка выборки, при интервальном - предельная.

В зависимости от принципов отбора единиц (повторного или без повторного) структурные формулы расчета ошибок выборки

различаются по величине поправки (N).

Рис. 11. Кривая нормального распределения вероятностей

В таблице 40 приведены формулы расчетов ошибок оценок генерального параметра.

Рассмотрим конкретный случай интервальной оценки параметров генеральной совокупности по данным выборочного наблюдения.

Пример. При выборочном обследовании хозяйств района установлено, что среднесуточный надой коров (х) составляет 10 кг. Доля чистопородного скота в общей численности поголовья составляет 80%. Ошибка выборки с доверительной вероятностью Р = 0,954 оказалась равной 0,2 кг; для частного чистопородного скота 1%.

Таким образом, границы, в которых может находиться генеральная средняя

производительность, будут 9,8 <х <10,2; для генеральной доли скота -79 <Р <81.

Вывод: с вероятностью 0,954 можно утверждать, что разница между избирательной средней продуктивностью коров и генеральной производительностью составляет 0,2 кг. Предел среднесуточного надоя - 9,8 и 10,2 кг. Доля (удельный вес) чистопородного скота в предприятиях района находится в пределах от 79 до 81%, ошибка оценки не превышает 1%.

Таблица 40

Расчет точечных и интервальных ошибок выборки

При организации выборки важное значение имеет определение необходимой ее численности (п). Последняя зависит от вариации единиц обследуемой совокупности. Чем больше коливнисть, тем больше должна быть численность выборки. Обратная связь между численностью выборки и ее предельной ошибкой. Стремление получить меньшую ошибку требует увеличения численности выборочной совокупности.

Необходимая численность выборки определяется на основе формул предельной ошибки выборки (д) с заданным уровнем вероятности (Р). Путем математических преобразований получают формулы расчета численности выборки (табл. 41).

Таблица 41

Расчет необходимой численности выборки _

Следует отметить, что все изложенное в отношении статистических оценок основывается на предположении, что выборочная совокупность, параметры которой используются при оценке, полученная с использованием метода (способа) отбора, который обеспечивает получение вероятностей выборки.

При этом, выбирая доверительную вероятность оценки, следует руководствоваться тем принципом, что выбор ее уровня не является математическим задачам, а определяется конкретно решаемой проблемой. В подтверждение сказанному рассмотрим пример.

Пример. Предположим, на двух предприятиях вероятность выпуска готовой (качественной) продукции равна Р = 0,999, то есть вероятность получения брака продукции составит а = 0,001. Можно ли в рамках математических соображений, не интересуясь характером продукции, решить вопрос о том, имела ли большая вероятность нехватки а = 0,001. Допустим, одно предприятие выпускает сеялки, а второе - самолеты для обработки посевов. Если на 1000 сеялок случится одна бракованная, то с этим можно мириться, потому что переплавка 0,1% сеялок дешевле, чем перестройка технологического процесса. Если же на 1000 самолетов встретится один бракованный, это, безусловно, приведет к серьезным последствиям при его эксплуатации. Итак, в первом случае вероятность получения брака а = 0,001 может приниматься, во втором случае - нет. По этой причине выбор доверительной вероятности в расчетах вообще и при исчислении оценок, в частности, следует осуществлять исходя из конкретных условий задачи.

В зависимости от задач исследования может возникнуть необходимость вычисления одной или двух доверительных границ. Если особенности решаемой задачи требуют установки только одной из границ, верхней или нижней, можно убедиться, что вероятность, с которой устанавливается эта граница будет выше, чем при указании обоих границ для одного и того же значения коэффициента доверия 1

Пусть доверительные границы установлены с вероятностью Р = 0,95, то есть,

в 95% случаев генеральная средняя (х) будет не меньше нижнего

доверительного интервала х ™ - х "м и не более верхнего доверительного

интервала Хверх - = х + В этом случае только с вероятностью а = 0,05 (или 5%) средняя генеральная может выйти за указанные границы. Поскольку распределение X симметричный, то половина из этого уровня

вероятности, то есть 2,5% будет приходиться на случай, когда х (х ™ -а вторая половина - на случай когда, х ^ х "^ -. Из этого следует, что вероятность того, что средняя генеральная может быть меньше, чем значение верхней

доверительной границы Хвеи "-, равна 0,975 (то есть 0,95 +0,025). Следовательно, создаются условия, когда при двух доверительных границах мы пренебрегаем

значением х как меньше х "" *., так и большими или Хеерх. Называя

только одну доверительную границу, например, Хверх., мы пренебрегаем только теми ~, превышающих эту границу. Для одного и того же значения коэффициента доверия X уровень значимости а здесь оказывается в два раза меньше.

Если рассчитываются только значение признака, которые превышают

(или наоборот не превышают) значения искомого параметра х, доверительный интервал называется односторонним. Если рассматриваемые значения ограничиваются с обеих сторон, доверительный интервал носит название двустороннего. Из сказанного выше следует, что гипотезы и ряд критериев, в частности критерий Х-Стьюдента, нужно рассматривать как односторонние и двусторонние. Поэтому при двусторонней гипотезе уровень значимости для одного и того же значения X будет в два раза больше, чем односторонняя. Если мы хотим при односторонней гипотезе оставить таким же уровень значимости (и уровень доверительной вероятности), как при двусторонней гипотезе, то величину X следует взять меньше. Эта особенность учтена при составлении стандартных таблиц критериев Х-Стьюдента (приложение 1).

Известно, что с практической стороны чаще представляют интерес не столько доверительные интервалы возможной величины генеральной средней, сколько те максимальные и минимальные величины, больше или меньше которых с заданной (доверительной) вероятностью генеральная средняя быть не может. В математической статистике их называют гарантированным максимумом и гарантированным минимумом средней. Обозначив названные параметры

соответственно через и х ™, можно записать: ХШ ™ = х +; хшип = х ~.

При исчислении гарантированных максимальных и минимальных значений генеральной средней, как границы одностороннего доверительного интервала в приведенных выше формулах, величина 1 берется как критерий односторонний.

Пример. По 20 участках выборки установлена средняя урожайность сахарной свеклы 300 н / га. Данная выборочная средняя характеризует соответствующий

параметр генеральной совокупности (х) с ошибкой 10 н / га. Согласно избирательности оценок генеральная средняя урожайность может быть как больше, так и меньше выборочной средней х = 300. С вероятностью Р = 0,95 можно утверждать, что искомый параметр не будет больше ХШ "= 300 +1,73 х10 = 317,3 ц / га.

Величина 1 взята для числа степеней свободы ^ = 20-1 при односторонней критической области и уровне значимости а = 0,05 (приложение 1). Итак, с вероятностью Р = 0,95 гарантированный максимально возможный уровень генеральной средней урожайности оценивается в 317 н / га, то есть при благоприятных условиях средняя урожайность сахарной свеклы не превышает указанной величины.

В некоторых отраслях знаний (например, в естественных науках) теория оценки уступает теории проверки статистических гипотез. В экономической науке методы статистической оценки играют очень важную роль в деле проверки надежности результатов исследований, а также в разного рода практических расчетах. Прежде всего это касается использования точечной оценки исследуемых статистических совокупностей. Выбор можно лучшей оценки - основная проблема точечной оценки. Возможность такого выбора обусловлена знанием основных свойств (требований) статистических оценок.

) задач математической статистики .

Предположим, что имеется параметрическое семейство распределений вероятностей (для простоты будем рассматривать распределение случайных величин и случай одного параметра). Здесь - числовой параметр, значение которого неизвестно. Требуется оценить его по имеющейся выборке значений, порожденной данным распределением.

Различают два основных типа оценок: точечные оценки и доверительные интервалы .

Точечное оценивание

Точечное оценивание - это вид статистического оценивания, при котором значение неизвестного параметра приближается отдельным числом. То есть необходимо указать функцию от выборки (статистику)

значение которой будет рассматриваться в качестве приближения к неизвестному истинному значению .

К общим методам построения точечных оценок параметров относятся: метод максимального правдоподобия , метод моментов , метод квантилей .

Ниже приводятся некоторые свойства, которыми могут обладать или не обладать точечные оценки.

Состоятельность

Одно из самых очевидных требований к точечной оценке заключается в том, чтобы можно было ожидать достаточно хорошего приближения к истинному значению параметра при достаточно больших значениях объема выборки . Это означает, что оценка должна сходиться к истинному значению при . Это свойство оценки и называется состоятельностью . Поскольку речь идет о случайных величинах, для которых имеются разные виды сходимости, то и данное свойство может быть точно сформулировано по-разному:

Когда употребляют просто термин состоятельность , то обычно имеется в виду слабая состоятельность, т.е. сходимость по вероятности.

Условие состоятельности является практически обязательным для всех используемых на практике оценок. Несостоятельные оценки используются крайне редко.

Несмещенность и асимптотическая несмещенность

Оценка параметра называется несмещенной , если ее математическое ожидание равно истинному значению оцениваемого параметра:

Более слабым условием является асимптотическая несмещенность , которая означает, что математическое ожидание оценки сходится к истинному значению параметра с ростом объема выборки:

Несмещенность является рекомендуемым свойством оценок. Однако не следует слишком переоценивать его значимость. Чаще всего несмещенные оценки параметров существуют и тогда стараются рассматривать только их. Однако могут быть такие статистические задачи, в которых несмещенных оценок не существует. Наиболее известным примером является следующий: рассмотрим распределение Пуассона с параметром и поставим задачу оценки параметра . Можно доказать, что для этой задачи не существует несмещенной оценки.

Сравнение оценок и эффективность

Для сравнения между собой различных оценок одного и того же параметра применяют следующий метод: выбирают некоторую функцию риска , которая измеряет отклонение оценки от истинного значения параметра, и лучшей считают ту, для которой эта функция принимает меньшее значение.

Чаще всего в качестве функции риска рассматривают математическое ожидание квадрата отклонения оценки от истинного значения

Для несмещенных оценок это есть просто дисперсия .

Существует нижняя граница на данную функцию риска, называемая неравенство Крамера-Рао .

(Несмещенные) оценки, для которых достигается эта нижняя граница (т.е. имеющие минимально возможную дисперсию), называются эффективными . Однако существование эффективной оценки есть довольно сильное требование на задачу, которое имеет место далеко не всегда.

Более слабым является условие асимптотической эффективности , которое означает, что отношение дисперсии несмещенной оценки к нижней границе Крамера-Рао стремится к единице при .

Заметим, что при достаточно широких предположениях относительно исследуемого распределения, метод максимального правдоподобия дает асимптотически эффективную оценку параметра, а если существует эффективная оценка - тогда он дает эффективную оценку.

Достаточные статистики

Статистика назвается достаточной для параметра , если условное распределение выборки при условии того, что , не зависит от параметра для всех .

Важность понятия достаточной статистики обуславливается следующим утверждением . Если - достаточная статистика, а - несмещенная оценка параметра , тогда условное математическое ожидание является также несмещенной оценкой параметра , причем ее дисперсия меньше или равна дисперсии исходной оценки .

Напомним, что условное математическое ожидание есть случайная величина, являющаяся функцией от . Таким образом, в классе несмещенных оценок достаточно рассматривать только такие, которые являются функциями от достаточной статистики (при условии, что такая существует для данной задачи).

(Несмещенная) эффективная оценка параметра всегда является достаточной статистикой.

Можно сказать, что достаточная статистика содержит в себе всю информацию об оцениваемом параметре, которая содержится в выборке .

Статистические оценки параметров генеральной совокупности. Статистические гипотезы

ЛЕКЦИЯ 16

Обычно в распределении исследователь имеет лишь данные выборки, например, значения количественного признака , полученные в результате наблюдений (здесь и далее наблюдения предполагаются независимыми). Через эти данные и выражают оцениваемый параметр.

Рассматривая как значения независимых случайных величин , можно сказать, что найти статистическую оценку неизвестного параметра теоретического распределения означает найти функцию от наблюдаемых случайных величин, которая и даёт приближённое значение оцениваемого параметра. Например, как будет показано далее, для оценки математического ожидания нормального распределения служит функция (среднее арифметическое наблюдаемых значений признака):

Итак, статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин. Статистическая оценка неизвестного параметра генеральной совокупности, записанная одним числом, называется точечной . Рассмотрим следующие точечные оценки: смещенные и несмещённые, эффективные и состоятельные.

Для того, чтобы статистические оценки давали «хорошие» приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определённым требованиям. Укажем эти требования.

Пусть есть статистическая оценка неизвестного параметра теоретического распределения. Допустим, что при выборке объёма найдена оценка . Повторим опыт, то есть извлечём из генеральной совокупности другую выборку того же объёма и по её данным найдём оценку и т.д. Повторяя опыт многократно, получим числа , которые, вообще говоря, будут различаться между собой. Таким образом, оценку можно рассматривать как случайную величину, а числа – как возможные её значения.

Ясно, что если оценка даёт приближённое значение с избытком, то каждое найденное по данным выборок число будет больше истинного значения . Следовательно, что в этом случае и математическое (среднее значение) случайной величины будет больше, чем , то есть . Очевидно, что если даёт приближённое значение с недостатком, то .

Поэтому, использование статистической оценки, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру, приводит к систематическим (одного знака) ошибкам. По этой причине естественно потребовать, чтобы математическое ожидание оценки было равно оцениваемому параметру. Хотя соблюдение этого требования, в общем, не устранит ошибок (одни значения больше, а другие меньше чем ), ошибки разных знаков будут встречаться одинакова часто. Однако соблюдение требования гарантирует невозможность получения систематических ошибок, то есть устраняет систематические ошибки.

Несмещённой называют статистическую оценку (ошибку) , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объёме выборки, то есть .

Смещённой называют статистическую оценку , математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру при любом объёме выборки, то есть .

Однако было бы ошибочным считать, что несмещённая оценка всегда даёт хорошее приближение оцениваемого параметра. Действительно, возможные значения могут быть сильно рассеяны вокруг своего среднего значения, то есть дисперсия может быть значительной. В этом случае, найденная по данным одной выборки оценка, например , может оказаться весьма удалённой от среднего значения , а значит, и от самого оцениваемого параметра . Таким образом, приняв в качестве приближённого значения , мы допустим большую ошибку. Если же потребовать, чтобы дисперсия была малой, то возможность допустить большую ошибку будет исключена. По этой причине к статистической оценке предъявляется требование эффективности.

Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объёме выборки ) имеет наименьшую возможную дисперсию.

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при стремится по вероятности к оцениваемому параметру, то есть, справедливо равенство:

Например, если дисперсия несмещённой оценки при стремится к нулю, то такая оценка оказывается также состоятельной.

Рассмотрим вопрос о том, какие выборочные характеристики лучше всего в смысле несмещённости, эффективности и состоятельности оценивают генеральную среднюю и дисперсию.

Пусть изучается дискретная генеральная совокупность относительно некоторого количественного признака .

Генеральной средней называется среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности. Она вычисляется по формуле:

§ – если все значения признака генеральной совокупности объёма различны;

§ – если значения признака генеральной совокупности имеют соответственно частоты , причём . То есть генеральная средняя есть средняя взвешенная значений признака с весами, равными соответствующим частотам.

Замечание : пусть генеральная совокупность объёма содержит объекты с различными значениями признака . Представим себе, что из этой совокупности наудачу извлекается один объект. Вероятность того, что будет извлечён объект со значением признака, например , очевидно, равна . С этой же вероятностью может быть извлечён и любой другой объект. Таким образом, величину признака можно рассматривать как случайную величину, возможные значения которой имеют одинаковые вероятности, равные . Нетрудно, в этом случае, найти математическое ожидание :

Итак, если рассматривать обследуемый признак генеральной совокупности как случайную величину, то математическое ожидание признака равно генеральной средней этого признака: . Этот вывод мы получили, считая, что все объекты генеральной совокупности имеют различные значения признака. Такой же итог будет получен, если допустить, что генеральная совокупность содержит по несколько объектов с одинаковым значением признака.

Обобщая полученный результат на генеральную совокупность с непрерывным распределением признака , определим генеральную среднюю как математическое ожидание признака: .

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака извлечена выборка объёма .

Выборочной средней называют среднее арифметическое значений признака выборочной совокупности. Она вычисляется по формуле:

§ – если все значения признака выборочной совокупности объёма различны;

§ – если значения признака выборочной совокупности имеют соответственно частоты , причём . То есть выборочная средняя есть средняя взвешенная значений признака с весами, равными соответствующим частотам.

Замечание : выборочная средняя, найденная по данным одной выборки есть, очевидно, определённое число. Если же извлекать другие выборки того же объёма из той же генеральной совокупности, то выборочная средняя будет изменяться от выборки к выборке. Таким образом, выборочную среднюю можно рассматривать как случайную величину, а следовательно, можно говорить о распределениях (теоретическом и эмпирическом) выборочной средней и о числовых характеристиках этого распределения, в частности, о математическом ожидании и дисперсии выборочного распределения.

Далее, если генеральная средняя неизвестна и требуется оценить её по данным выборки, то в качестве оценки генеральной средней принимают выборочную среднюю, которая является несмещённой и состоятельной оценкой (предлагаем это утверждение доказать самостоятельно). Из сказанного следует, что если по нескольким выборкам достаточно большого объёма из одной и той же генеральной совокупности будут найдены выборочные средние, то они будут приближённо равны между собой. В этом состоит свойство устойчивости выборочных средних .

Отметим, что если дисперсии двух совокупностей одинаковы, то близость выборочных средних к генеральным не зависит от отношения объёма выборки к объёму генеральной совокупности. Она зависит от объёма выборки: чем объём выборки больше, тем меньше выборочная средняя отличается от генеральной. Например, если из одной совокупности отобран 1% объектов, а из другой совокупности отобрано 4% объектов, причём объём первой выборки оказался большим, чем второй, то первая выборочная средняя будет меньше отличаться от соответствующей генеральной средней, чем вторая.