Графики тригонометрических функций, преобразование графиков. Преобразование графика тригонометрической функции у = sin x путем сжатия и расширения гбпоу «российский колледж традиционной культуры» попова л.а. Построение графиков тригонометрических функций
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Графики тригонометрических функций Функция у = sin x, ее свойства Преобразование графиков тригонометрических функций путем параллельного переноса Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и расширения Для любознательных…
тригонометрические функции Графиком функции у = sin x является синусоида Свойства функции: D(y) =R Периодическая (Т=2 ) Нечетная (sin(-x)=-sin x) Нули функции: у=0, sin x=0 при х = n, n Z y=sin x
тригонометрические функции Свойства функции у = sin x 5. Промежутки знакопостоянства: У >0 при х (0+2 n ; +2 n) , n Z У
тригонометрические функции Свойства функции у= sin x 6. Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутках вида: - /2 +2 n ; / 2+2 n n Z y = sin x
тригонометрические функции Свойства функции у= sin x Промежутки монотонности: функция убывает на промежутках вида: /2 +2 n ; 3 / 2+2 n n Z y=sin x
тригонометрические функции Свойства функции у = sin x 7. Точки экстремума: Х мах = / 2 +2 n , n Z Х м in = - / 2 +2 n , n Z y=sin x
тригонометрические функции Свойства функции у = sin x 8 . Область значений: Е(у) = -1;1 y = sin x
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций График функции у = f (x +в) получается из графика функции у = f(x) параллельным переносом на (-в) единиц вдоль оси абсцисс График функции у = f (x)+а получается из графика функции у = f(x) параллельным переносом на (а) единиц вдоль оси ординат
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций Постройте график Функции у = sin(x+ /4) вспомнить правила
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций y =sin (x+ /4) Постройте график функции: y=sin (x - /6)
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций y = sin x + Постройте график функции: y =sin (x - /6)
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций y= sin x + Постройте график функции: y=sin (x + /2) вспомнить правила
тригонометрические функции Графиком функции у = cos x является косинусоида Перечислите свойства функции у = cos x sin(x+ /2)=cos x
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения График функции у = k f (x) получается из графика функции у = f(x) путем его растяжения в k раз (при k>1) вдоль оси ординат График функции у = k f (x) получается из графика функции у = f(x) путем его сжатия в k раз (при 0
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения y=sin2x y=sin4x Y=sin0.5x вспомнить правила
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения График функции у = f (kx) получается из графика функции у = f(x) путем его сжатия в k раз (при k>1) вдоль оси абсцисс График функции у = f (kx) получается из графика функции у = f(x) путем его растяжения в k раз (при 0
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения y = cos2x y = cos 0.5x вспомнить правила
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения Графики функций у = -f (kx) и у=- k f(x) получаются из графиков функций у = f(kx) и y= k f(x) соответственно путем их зеркального отображения относительно оси абсцисс синус – функция нечетная, поэтому sin(-kx) = - sin (kx) косинус –функция четная, значит cos(-kx) = cos(kx)
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения y = - sin3x y = sin3x вспомнить правила
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения y=2cosx y=-2cosx вспомнить правила
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения График функции у = f (kx+b) получается из графика функции у = f(x) путем его параллельного переноса на (-в /k) единиц вдоль оси абсцисс и путем сжатия в k раз (при k>1) или растяжения в k раз (при 0
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения Y= cos(2x+ /3) y=cos(x+ /6) y= cos(2x+ /3) y= cos(2(x+ /6)) y= cos(2x+ /3) y= cos(2(x+ /6)) Y= cos(2x+ /3) y=cos2x вспомнить правила
тригонометрические функции Для любознательных… Посмотрите как выглядят графики некоторых других триг. функций: y = 1 / cos x или y=sec x (читается секонс) y = cosec x или y= 1/ sin x читается косеконс
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
ЦОР «Преобразование графиков тригонометрических функций» 10-11 классы
Раздел учебной программы:«Тригонометрические функции».Тип урока:цифровой образовательный ресурс комбинированного урока алгебры. По форме изложения материала:Комбинированный (универсальный) ЦОР со...
Методическая разработка урока по математике:«Преобразование графиков тригонометрических функций»
Методическая разработка урока по математике: «Преобразование графиков тригонометрических функций» для учащихся десятого класса. Урок сопровождается презентацией....
Графики тригонометрических функций
- Функция у = sin x, ее свойства
- Преобразование графиков тригонометрических функций путем параллельного переноса
- Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и расширения
- Для любознательных…
- Автор
Графиком функции у = sin x является синусоида
y = sin x
Свойства функции :
- D(y) =R 2. Периодическая (Т=2 )
3. Нечетная ( sin(-x)=-sin x) 4. Нули функции:
у=0, sin x=0 при х = n, n Z
0 при х (0+2 n ; +2 n) , n Z у при x (- +2 n ; 0+2 n), n Z" width="640"
Свойства функции у = sin x
y = sin x
5. Промежутки знакопостоянства :
у 0 при х (0+2 n ; +2 n ) , n Z
у при x ( - +2 n ; 0+2 n), n Z
Свойства функции у= sin x
6. Промежутки монотонности :
функция возрастает на промежутках
вида: - /2 +2 n ; / 2+2 n n Z
Свойства функции у= sin x
Промежутки монотонности:
функция убывает на промежутках
вида: /2 +2 n ; 3 / 2+2 n n Z
Свойства функции у = sin x
x min
x min
x max
x max
7 . Точки экстремума :
x мах = / 2 +2 n , n Z
x м in = - / 2 +2 n , n Z
Свойства функции у = sin x
8 . Область значений :
Е(у) = -1;1
Преобразование графиков тригонометрических функций
- График функции у = f (x +в) получается из графика функции у = f(x) параллельным переносом на (-в) единиц вдоль оси абсцисс
- График функции у = f (x )+а получается из графика функции у = f(x) параллельным переносом на (а) единиц вдоль оси ординат
Постройте график
Функции у = sin(x+ /4 )
y = sin x
вспомнить
правила
Постройте график
функции: y=sin (x - /6)
y =sin (x+ /4 )
Постройте график
функции:
y = sin x +
y =sin (x - /6 )
y= sin x +
Постройте график
функции: y=sin (x + /2)
вспомнить
правила
Графиком функции у = cos x является косинусоида
sin(x+ /2)=cos x
Перечислите свойства
функции у = cos x
путем сжатия и растяжения
- График функции у = k f (x у = f(x) путем его растяжения в k раз (при k1) вдоль оси ординат
- График функции у = k f (x ) получается из графика функции у = f(x) путем его сжатия в 1/k раз (при 0 вдоль оси ординат
путем сжатия и растяжения
y=0.5sinx
вспомнить
правила
путем сжатия и растяжения
- График функции у = f (kx ) получается из графика функции у = f(x) путем его сжатия в k раз (при k1) вдоль оси абсцисс
- График функции у = f (kx ) получается из графика функции у = f(x) путем его растяжения в 1/k раз (при 0 вдоль оси абсцисс
путем сжатия и растяжения
y = cos2x
y = cos 0.5x
вспомнить
правила
путем сжатия и растяжения
- Графики функций у = -f (kx ) и у=- k f(x) получаются из графиков функций у = f(kx) и y= k f(x) соответственно путем их зеркального отображения относительно оси абсцисс
- синус – функция нечетная, поэтому sin(-kx) = - sin (kx)
косинус –функция четная, значит cos(-kx) = cos(kx)
путем сжатия и растяжения
y = - 3sinx
y = 3sinx
вспомнить
правила
путем сжатия и растяжения
y=-2cosx
вспомнить
правила
путем сжатия и растяжения
- График функции у = f (kx+b ) получается из графика функции у = f(x) путем его параллельного переноса на (-в /k) единиц вдоль оси абсцисс и путем сжатия в k раз (при k1) или растяжения в 1/k раз (при 0 вдоль оси абсцисс
- f (kx+b) = f (k(x+b/k))
путем сжатия и растяжения
y= cos(2x+ /3)
y= cos(2(x+ /6))
y= cos(2x+ /3)
y= cos(2(x+ /6))
y=cos(x+ /6)
Y= cos(2x+ /3)
Y= cos(2x+ /3)
вспомнить
правила
Для любознательных…
Посмотрите как выглядят графики некоторых других триг. функций :
y = cosec x или y= 1/ sin x
читается косеконс
y = 1 / cos x или y=sec x
( читается секонс)
О тригонометрических функциях можно почитать в работах :
- Определение тригонометрических функций
- О периодах тригонометрических функций
- Графики синуса и косинуса
- Графики тангенса и котангенса
- Формулы приведения
- Простейшие тригонометрические уравнения
Учитель математики
Державинского лицея
г. Петрозаводска
Присакарь
Ольга Борисовна
(mail : [email protected])
- Напишите мне ваши
Построение графиков тригонометрических функций в 11классе
Учитель математики первой квалификационной категории МАОУ «Гимназия №37» г.Казань
Спиридонова Л.В.
- Тригонометрические функции числового аргумента
- y=sin(x)+m и y=cos(x)+m
- Построение графиков функций вида y=sin(x+t) и y=cos(x+t)
- Построение графиков функций вида y=A · sin(x) и y=A · cos(x)
- Примеры
Тригонометрические функции числового аргумента.
y=sin(x)
y=cos(x)
Построение графика функции y = sin x .
Построение графика функции y = sin x .
Построение графика функции y = sin x .
Построение графика функции y = sin x .
Свойства функции у = sin ( x ) .
всех действительных чисел ( R )
2. Областью изменений (Областью значений) ,E(y)= [ - 1; 1 ] .
3. Функция у = sin ( x) нечетная, т.к. sin (- x ) = - sin x
- π .
sin (x + 2 π ) = sin(x).
5. Функция непрерывная
Убывает: [ π /2; 3 π /2 ] .
6. Возрастает: [ - π /2; π /2 ] .
+
+
+
-
-
-
Построение графика функции y = cos x .
График функции у = cos x получается переносом
графика функции у = sin x влево на π /2.
Свойства функции у = со s ( x ) .
1. Областью определения функции является множество
всех действительных чисел ( R )
2. Областью изменений (Областью значений),Е(у)= [ - 1; 1 ] .
3. Функция у = cos (х) четная, т.к. cos (- х ) = cos (х)
- Функция периодическая, с главным периодом 2 π .
cos ( х + 2 π ) = cos (х) .
5. Функция непрерывная
Убывает: [ 0 ; π ] .
6. Возрастает: [ π ; 2 π ] .
+
+
+
+
-
-
-
Построение
графиков функций вида
у = sin ( x ) + m
и
у = cos (х) + m.
0 , или вниз, если m ." width="640"
Параллельный перенос графика вдоль оси Оу
График функции y=f(x) + m получается параллельным переносом графика функции y=f(x) , вверх на m единиц, если m 0 ,
или вниз, если m .
0 y m 1 x" width="640"
Преобразование: y= sin ( x ) +m
Сдвиг у= sin ( x ) по оси y вверх, если m 0
m
0 y m 1 x" width="640"
Преобразование: y= cos ( x ) +m
Сдвиг у= cos ( x ) по оси y вверх , если m 0
m
Преобразование: y=sin ( x ) +m
Сдвиг у= sin ( x ) по оси y вниз, если m 0
m
Преобразование: y= cos ( x ) + m
Сдвиг у= cos ( x ) по оси y вниз, если m 0
m
Построение
графиков функций вида
у = sin ( x + t )
и
у = cos ( х + t )
0 и вправо, если t 0." width="640"
Параллельный перенос графика вдоль оси Ох
График функции y = f(x + t) получается параллельным переносом графика функции y=f(x) по оси х на |t| единиц масштаба влево, если t 0
и вправо , если t 0.
0 y 1 x t" width="640"
Преобразование: y = sin(x + t)
сдвиг у= f(x) по оси х влево, если t 0
t
0 y 1 x t" width="640"
Преобразование: y= cos(x + t)
сдвиг у= f(x) по оси х влево, если t 0
t
Преобразование: y= sin(x + t)
сдвиг у= f(x) по оси х вправо, если t 0
t
Преобразование: y= cos(x + t)
сдвиг у= f(x) по оси х вправо, если t 0
t
0
1 и 0 а 1" width="640"
Построение графиков функций вида у = А · sin ( x ) и y = А · cos ( x ) , при а 1 и 0 а 1
1 и сжатием к оси Ох с коэффициентом 0 А." width="640"
Сжатие и растяжение вдоль оси Ох
График функции у=А · f(x ) получаем растяжением графика функции у= f(x) с коэффициентом А вдоль оси Ох,если А 1 и сжатием к оси Ох с коэффициентом 0 А .
1 пусть а=1,5 y 1 x -1" width="640"
Преобразование: y = a·sin ( x ), a 1
пусть а=1,5
1 пусть а=1,5 y 1 x" width="640"
Преобразование: y = a · cos ( x ), a 1
пусть а=1,5
Преобразование: y = a·sin ( x ) , 0
пусть а=0,5
Преобразование: y = a·cos ( x ), 0
пусть а=0,5
sin (
y
x
y=sin(x) → y=sin(x- π )
x
sin (
y
y
sin (
x
y
x
- 1
y=cos(x) → y=cos(2x) → y= - cos(2x) → y= - cos(2x)+3
x
x
x
y
y
sin
y
sin
sin
sin
y
x
y
x
- 1
y=sin(x) → y=sin(x/3) → y=sin(x/3)-2
y
x
- 1
y=sin(x) → y=2sin(x) → y=2sin(x)-1
y
y
y
cos
y
cos x + 2
x
cos x + 2
cos x
y
x
- 1
y= cos(x) → y=1/2 cos(x) → y=-1/2 cos(x) → y=-1/2 cos(x) +2
y
x
- 1
y=cos (x) → y=cos(2x) → y= - cos(2x) →
Т Е М А : Преобразования графиков тригонометрических функций с модулем.
Ц Е Л Ь : Рассмотрение получения графиков тригонометрических функций вида
y = f(|x|) ; y = | f (x )| .
Развивать математическую логику и внимание.
Х О Д У Р О К А:
Орг. момент: Объявление темы, целей и задач урока.
Учитель : Сегодня мы должны научиться строить графики функций y = sin |x|; y = cos|x|
Y = |A sin x +b| ; Y = |A cos x +b| используя наши знания о преобразованиях трансцендентных функций вида y = f(|x|) и y = |f(x)| . Вы спросите «Для чего это нужно?» Дело в том что свойства функций в этом случае изменяются, а вот как, это лучше всего прослеживается, как вы знаете, на графике.
Давайте вспомним как запишутся данные функции с использованием определения
Дети: f(|x|) =
|f(x)| = 
Учитель : Итак, чтобы построить график функции у = f (|x|), если известен график функции
у = f { x ), нужно оставить на месте ту часть графика функции у = f (x ), которая
соответствует неотрицательной части области определения функции у = f (x ). Отразив эту
часть симметрично относительно оси у, получим другую часть графика, соответствующую
отрицательной части области определения.
Т. е. на графике это выглядит следующим образом: y = f (x)
(Данные графики строятся на доске. Дети в тетрадях)
Теперь исходя из этого построим график функций y = sin |x|; Y = |sin x | ; Y = |2 sin x + 2|
Рис 1. Y = sin x
Рис 2. Y = sin |x|
Теперь построим графики функций Y = |sin x | и Y = |2 sin x + 2|
Чтобы построить график функции у = \ f (x )\, если известен график функции у = f (x ), нужно оставить на месте ту его часть, где f (x ) > О, и симметрично отобразить относительно оси х другую его часть, где f (x ) < 0.